WisFaq!

Contractiestelling

Hallo,

Mijn vraag gaat over de contractiestelling zoals die in mijn boek staat vermeld, in mijn wiskundeboek staat:

Als bij een functie f met een dekpunt d er een p is zo, dat voor de differentiequotiënten geldt |(f(x)-d)/(x-d)| 1 voor elke x op d - p, d + p en van de rij u(n) = f(u(n-1)) ligt een term in het interval d - p, d + p, dan convergeert de rij u(n) naar het dekpunt d.

In het boek staat een rekening van een curve met de lijn y=x en een lijn met rc = -1 die de curve snijdt in het dekpunt. Mijn vraag: hoe gebruik ik deze contractiestelling?

Alvast bedankt,

Marco

Marco van Woerden
24-10-2004

Antwoord

Laten we eens een familie van rijen bekijken:
f(x)=ax(1-x)
u_n+1=f(u_n)

We kiezen eerst a=1.5, dus f(x)=1.5x(1-x).

Hieronder zie je de grafiek van f en de lijnen met r.c. 1 en -1 in de beide dekpunten.



We bekijken het rechterdekpunt.
In de buurt van het dekpunt ligt de grafiek in het gearceerde gedeelte.
Er is dus een omgeving d-p,d+p zo, dat alle differentiequotienten tussen -1 en 1 liggen.
We zien in onderstaande webgrafiek gedemonstreerd dat de rij voor u₀=0.7 naar het rechterdekpunt convergeert.



Nemen we nu a=5, dus f(x)=5x(1-x)



We zien dat de grafiek nu in het andere deel ligt (zie de arcering). Er geldt nu niet dat de differentiequotienten tussen -1 en 1 liggen.
In onderstaande webgrafiek zie je de divergentie gedemonstreerd.



In beide gevallen geldt dat in het linkerdekpunt de grafiek in het deel ligt waarvoor de differentiequotienten in absolute waarde groter zijn dan 1. In beide gevallen geldt dan ook dat het dekpunt x=0 een zogenaamde "afstoter" is.

hk
31-10-2004