WisFaq!

Kortste afstand tussen twee punten op een bol

Allereerst mijn complimenten betreffende uw prachtige site over wiskunde. Het is een mooi vak. Ik ben noch leraar, noch student, maar blijf het als hobby leuk vinden.

Ik heb een probleempje waar ik met mijn wiskundekennis niet uitkom. De vragen gaan over lengte - en breedtegraden van de aarde. U bent het met me eens dat lengtegraden overal op aarde even lang zijn. Ze gaan snijden elkaar allemaal over de polen en snijden de evenaar loodrecht.

De breedtegraden zijn overal verschillend. Je kan ze beschouwen als cirkels die parallel met de evenaar lopen en naarmate ze de polen naderen al kleiner worden. In de bijlage heb ik een berekening gemaakt van de 10de breedtegraad.

Ik heb de totale lengte berekend en de doorsnee. (Doorsnee = koorde) Ook heb ik berekend wat de kortste afstand over de aardbol bedraagt.

Mijn vragen zijn nu als volgt:

1. Stel dat ik 1 punt op de 10de breedtegraad heb en een ander op de 20ste . Dat zou dan op de zelfde manier kunnen gaan en dan een goniometrische methode toepassen.
2. Maar nu, om het complexer te maken, als er ook nog eens lengtegraden gegeven zijn?
   B.v 1 punt op 50 graden N.B., 5 graden O.L. en een ander punt op 20 graden Z.B en 45 graden O.L.?
3. Tot slot: hoe kan je oppervlaktes op een bol berekenen? B.v. het rechthoek met de vier punten:
   10 OL, 50 NB 20 OL 50 NB, 10 OL 40 NB en 20 OL 40 NB ?

Bij voorbaat dank voor uw antwoorden.

Michael van Dieken
25-4-2002

Antwoord

Als het over de (sferische) afstand gaat tussen twee punten A en B op een bol en gemeten over die bol, dan wordt daarmee bedoeld de lengte van de kleinste boog van de grote cirkel door A en B.
Een grote cirkel (je leest ook wel: grootcirkel) is een cirkel die door het middelpunt van de bol gaat.

Om de afstand van twee punten A en B te bepalen is het invoeren van coördinaten het handigst. Dat kan op meerdere manieren, maar voor de gestelde vraag nemen we hier gewoon de coördinaten volgens de bekende geografische lengte en breedte.

We noemen de lengtecoördinaat x (waarbij x genomen wordt tussen -180° en 180°(dit laatste getal inclusief)).
De richting van west naar oost wordt als de positieve richting genomen.

De breedte duiden we met y aan, waarbij y gekozen wordt tussen -90° en 90°, beide inclusief. Noorderbreedte is hierbij positief en zuiderbreedte negatief.

Door deze afspraken is ieder punt op de bol nu voorzien van een tweetal coördinaten, en deze keuze stemt overeen met wat in de geografie gebruikelijk is.

Als nu de punten A(a,b) en B(c,d) op de bol liggen, dan geldt voor hun sferische afstand de volgende formule:

cosAB = sinb.sind + cosb.cosd.cos(a-c)

Ik ga er vanuit dat de begrippen sinus en cosinus (nog) bekend zijn. In ieder geval zijn de waarden uit elk rekenmachientje te halen.
Overigens is in bovenstaand verhaal de straal van de bol op 1 gezet. Bij een andere straal hoef je natuurlijk alleen maar met die waarde te vermenigvuldigen.

De oppervlakte van een boldriehoek zit als volgt in elkaar.
Ten eerste verstaat men onder een boldriehoek een driehoek waarvan de 'zijden' delen van grote cirkels zijn. Men kan namelijk laten zien dat die bogen van grote cirkels de kortste verbinding opleveren.
Nu is de optelsom van de drie hoeken in een boldriehoek vreemd genoeg altijd groter dan de bekende 180°.
In dit opzicht komt hiermee een belangrijk verschil met de gewone vlakke meetkunde aan het licht. Daar is de optelsom altijd precies gelijk aan 180°, zoals bekend.

De cruciale rol in de oppervlakte van een boldriehoek wordt nu gespeeld door het zogenaamde 'sferisch exces'.
Dit mag misschien ingewikkeld klinken, maar het is niets anders dan het aantal graden dat de optelsom der hoeken in de driehoek boven de 180° uitkomt.
Als we dat exces aanduiden met de letter E, dan is de formule voor de oppervlakte van een boldriehoek de volgende:

Opp = $\pi$.R².E/180

Zie Hoe ver is het van ... naar ... [http://home.wxs.nl/~hklein/afstand/cairo.htm]

MBL
26-4-2002