WisFaq!

Re: Verloop van goniometrische functie f(x) = 4cos²x-8cosx+3

Beste,

Ik heb reeds de hulp al eens bekeken, maar ik zit toch nog met enkele vragen.

Als we de functie willen onderzoeken, tussen welk interval? ik dacht [-3p/8,13p/8]. Maar ik twijfel of het niet [0,2p] is want dat is wel essentieel om dit te weten voor het verdere onderzoek.

Dan voor de snijpunten met de x-as heb ik cosx gelijk gesteld aan t zo krijg je 4t²-8t+3=0 waaruit volgt cosx=3/2 en cosx=1/2, maar de cosinus kan nooit groter zijn dan 1 dus de eerste opl. klopt niet en cosx=1/2 als x= p/3 + k2p of x= -p/3 + k2p ??? klopt dit?
Is dit dan een nulpunt???

Dank bij voorbaat

Lien
22-10-2004

Antwoord

Dit is een vervolg op vraag 28863. Zie Verloop van goniometrische functie f(x) = 4cos²x-8cosx+3.

Over het 'domein'
Als je I = [-3p/8 ; 13p/8] neemt, dan is de lengte van I inderdaad gelijk aan 3p/8 + 13p/8 = 16p/8 = 2p.
I kan je dus, voor het verdere onderzoek van f, zeker als domein kiezen, omdat de periode van f gelijk is aan 2p.
Hieronder heb ik de functie geschetst op het interval I.

Om het even, als je maar een interval neemt waarvan de lengte gelijk is aan 2p.
Maar gebruikelijk is echter om het standaard interval S = [0 ; 2p] te nemen.
Maar voor het onderzoek van f is dat niet essentieel, omdat alle eigenschappen van de functie f die je vindt op I, vanwege de periodiciteit, ook terug te vinden zijn op het interval S.

Over de nulpunten
Je vindt, terecht:
cos(x)=³/₂ (kan niet) en cos(x)=¹/₂
Alleen de laatste vergelijking levert dus de nulpunten.
Het hangt nu van het gekozen domein af welke waarden van x je moet kiezen.
cos(x) = ¹/₂ geeft inderdaad
(1) x = p/3 + k.2p OF (2) x = -p/3 + k.2p
Door de juiste waarde van k te kiezen kan je de nulpunten op het gekozen domein vinden.
Op I (zie bovenstaand plaatje):
(1) geeft x = p/3 (met k = 0) en (2) geeft x = -p/3 (ook met k = 0)
Op S:
(1) geeft x = p/3 (met k = 0) en (2) geeft x = 1²/₃p (met k = 1).

dk
22-10-2004