WisFaq!

Verzameling vectoren

Hallo beste persoon,

Het gaat over de (on)afhankelijkheid van vectoren. Je hebt bijvoorbeeld 5 vectoren (a,b,c,d,e) die een ruimte V voortbrengen, het is nu de vraag of dat 1 of meerdere van deze vectoren niet nodig zijn om de ruimte voort te brengen aangezien ze in een andere vector uit te drukken zijn.
Door een stelsel vergelijkingen te creeren en eliminatie toe te passen, vind je dat d=-e, b=-(c+2e) en a=-2(c+e)(het gaat niet om dit gedeelte echter, maar om de vervolgens getrokken conclusie). Mijn boek trekt dan de conclusie, heej!, blijkbaar zijn vectoren c en e NIET NODIG om V voort te brengen terwijl ik juist dacht dat alles uit te drukken is in c en e en je dus deze 2 vectoren SLECHTS nodig hebt. Hoezo zit ik fout?

Dank je wel,
Jop

Jop
21-10-2004

Antwoord

Dag Jop,

Uit de drie uitdrukkingen die je bekomt blijkt inderdaad dat zowel d, b en a als een lineaire combinatie van c en e te schrijven zijn. Dus brengen c en b dezelfde ruimte voort als de 5 vectoren. Ik besluit dus ook dat c en e V voortbrengen.

Het is naturlijk ook mogelijk om e en c te schrijven als lineaire combinatie van de anderen:

e=-d
c=-a+b
e=¹/₂a-b

Je kan dan besluiten dat je V ook kunt voortbrengen met de vectoren a en b

Je kan zo verschillende mogelijkheden vinden van 2 vectoren die V voortbrengen. Merk wel op dat de dimensie van V vastligt. Je kan dus niet de ene keer V voortbrengen met 2 onafhankelijke vectoren, en de andere keer met 3 onafhankelijke vectoren. In dit geval is dim(V) = 2.

Dat het boek concludeert dat enkel e en c overbodig zijn, vind ik dus ook vreemd.

mvg

av
21-10-2004