WisFaq!

Interval, straal en centrum

Hoi hoi, hier komt een vraagje. ik hoop dat ik hier word geholpen

I een interval met centrum a en straal r. J ook een interval maar met centrum b en straal r'.
Toon aan dat er voor elk element x van I en voor elk element y van J dat |x-y|=M-m
met M=sup(a+r,b+r') en m=inf(a-r,a-r')

ik deed het zo:
er geldt |x-a|=r en |y-b|=r'
dus a-r=x=a+r en -(b+r')=-y= -(b-r')
dus a-r -(b+r')=x-y=a+r-(b-r')

hieruit volgt |x-y|=sup(|a-r -(b+r')|,|a+r-(b-r')|)
maar verder dan dit ben ik niet gekomen

alvast bedankt/merci/thanks

Zuric
18-10-2004

Antwoord

Laat mij verder gaan vanaf: a-r -(b+r')x-ya+r-(b-r')

Nu zijn er zes mogelijkheden (twee aan twee equivalent)
1a) a-r a+r b-r' b+r'
1b) b-r' b+r' a-r a+r
2a) a-r b-r' a+r b+r'
2b) b-r' a-r b+r' a+r
3a) a-r b-r' b+r' a+r
3a) b-r' a-r a+r b+r'

Het is voldoende om enkel 1a,2a en 3a te beschouwen, omdat de rest volgt door de rol van I en J om te keren.
Bereken nu in de drie gevallen eens het supremum en het infumum bereken uit je te bewijzen.
vb. 1a: sup(a+r,b+r')-inf(a-r,b-r')=(b+r')-(a-r)

In dit geval is x-y 0 en we kunnen dus de drie leden van de ongelijkheid vermenigvuldigen met -1
nl: -(a+r)+(b-r')y-x-(a-r)+(b+r') = M-m
en anderzijds is : (a-r)b-r' en a+rb+r' of anders gezegd -(b+r')-(a+r) Û -M+m=-(b+r')+(a-r)-(a+r)+(b-r')

Besluit voor 1a) -M+my-xM-m Û |x-y|M-m

Mvg,

Els
19-10-2004