WisFaq!

Verloop van een logaritmische functie

beste,

Maandag 18/10 heb ik toets van het verloop van een logaritmische functie. Zo wil ik een vrije oefening maken, maar deze kan ik niet meer afgeven aan de leerkracht. Daarom zou ik willen vragen of jullie aub de oefening willen nakijken en eventueel helpen waar nodig?

f(x)= x. ln(x)

1. domein: ln(x)$\to$ x$>$0 dus domf(x): ]0,+oneindig[
2. snijpunten assen + tekenverloop:
snijpunten x-as: f(x)=0 $\Leftrightarrow$ x.ln(x) = 0 dus x=0
maar dat gaat niet aangezien 0Ïdomf
OF: ln(x)=0 $\Leftrightarrow$ x=1 DUS: snijpunt x-as: (1,0)
snijpunten y-as: geen want x$\ne$0
Tekenverloop:
x - oneindig 0 1 + oneindig
f(x) bestaat niet I - 0 +
3. symmetrie: noch even, noch oneven
4. asymptoten: voor de verticale asymptoot moet je de
grenswaarde van het domein nemen dus 0
lim (x.ln(x)) = lim ln(x)/(1/x) = l'hopital =
x-$>$0 x-$>$0
$>$ $>$
lim (1/x)·(-1/x²))/(-1/x²)³ = 0 $\Rightarrow$ perforatie
x-$>$0
$>$
Horizontale asymptoot; hoe bereken je dat? En de
schuine? Zou u dit willen oplossen zo kan ik het
bekijken hoe de methode in elkaar zit.
5. Eerste afgeleide:
f'(x): D(x . lnx) = lnx + 1 ?? en het tekenverloop:
x - oneindig 0 + oneindig
f'(x) bestaat niet I +
f(x) bestaat niet I stijgt

6. Tweede afgeleide:
f''(x): D(lnx+1) = 1/x
Maar is daar het tekenverloop?

Dank bij voorbaat

Lien
16-10-2004

Antwoord

Punten 1 tot 3 zijn prima.
Punt 4 : Na de regel van de l'Hopital krijg je :
lim ^1/_x/_-¹/x² = lim (-x) = 0

lim_{x$\to$+$\infty$}(x.lnx) = +$\infty$
Dit is geen getal, dus geen horizontale asymptoot.

Als er een schuine asymptoot (y = a.x + b) is a = lim_{x$\to$+$\infty$}^f(x)/_x = lim_{x$\to$+$\infty$}lnx. Vermits dit geen getal is, is er ook geen schuine asymptoot.

5. De eerste afgeleide heeft een nulpunt, namelijk als lnx = -1. Dus als x = ¹/_e. Hier hebben we dus een minimum.

6. Het tekenverloop van ¹/_x is toch zeer eenvoudig ... (heeft toch hetzelfde teken als x...)

LL
16-10-2004