WisFaq!

Gehele getallen van Gauss

Hallo wisfaq,

Ik wil graag het volgende bewijzen:

N(a) priem in Z(de integers) d.e.s.d.a. a priem in Z[i]

Met a=x+yi en N:Z[i]-Z, N(a)=aa' (a'is hier a geconjugeerd).
Ik heb gelezen dat N(a) priem is als a=2 of als a van de vorm 4n+1 is.(Of misschien werd er bedoeld N(a) is priem als N(a) gelijk is aan 2 of van de vorm 4n+1, ik begreep niet goed hoe ik het moest interpreteren).

Vriendelijke groeten en dank,

Viky

viky
14-10-2004

Antwoord

Hoi Viky,

N(a)=aa'=(x+yi)(x-yi)=x²+y²

De stelling is makkelijkst als volgt te bewijzen:
N(a) niet priem in Û a niet priem in [i ]

Vertrek eens rechts: a is niet priem in [i ]. Dus a=(k+li)(m+ni) met k,l,m,n geheel. En noch k+li, noch m+ni is een eenheid (zijnde 1,-1,i,-i).
Wat is dan N(a)? Dat is (k+li)(m+ni)(k-li)(m-ni) = (k²+l²)(m²+n²) waarbij geen van deze factoren 1 is (want dat kan alleen als k+li of m+ni een eenheid was). Dus is N(a) geen priem in , want kan ontbonden worden in (k²+l²)(m²+n²).

Andere richting: stel nu dat a wel priem is in [i ]. Te bewijzen: N(a) is priem. Dit zal niet lukken, kijk maar eens naar a=3. Dat is priem in [i ], maar N(a)=9, dus niet priem in .

Wat je wel kan bewijzen is: als a priem is in [i ] en a en a' zijn niet geassocieerd (dwz dat a en a' niet op een eenheid na verschillen, dus 3 is geassocieerd met 3,3i, -3 en -3i) dan is N(a) priem in .

Bewijs: stel dat N(a)=mn met m,n twee positieve gehele getallen. Als we kunnen bewijzen dat altijd geldt dat m=N(a) of n=N(a), dan zijn we er.

N(a)=aa'=mn, dus a is een deler van mn. Vermits a priem is, is a ofwel een deler van m, ofwel van n. Stel a deelt n (geval a deelt m is compleet analoog). Dan is het eenvoudig in te zien dat ook a' een deler is van n. Haja: als n=ab dan
n = (x+yi)(u+vi)=(xu-yv)+i(xv+yu),
maar n is geheel dus n=xu-yv en xv+yu=0.
En dan geldt ook dat n=(x-yi)(u-vi)=(xu-yv)-i(xv+yu).

Goed, dus a deelt n en a' deelt n.
Nu zijn a en a' priemen die niet geassocieerd zijn, dus echt verschillende priemen. Dan is er een eigenschap over priemgetallen die zegt dat als twee verschillende priemen delers zijn van een getal, dat dan ook hun product deler is van dat getal. Hier dus: aa' deelt n, dus N(a) deelt n.

Conclusie: hoe we ook N(a) schrijven als product van twee gehelen, altijd zal N(a) een deler zijn van één van beide factoren. Dus N(a) is priem.

Wat is er nu bewezen? Het volgende:
"als a priem is in [i ] en a en a' zijn niet geassocieerd dan is N(a) priem in ."

Welke priemen zijn dan uit de boot gevallen? Juist die priemen a waarvoor a en a' geassocieerd zijn. Je kan eenvoudig nagaan dat dat de priemen in [i ] zijn die zuiver geheel of zuiver complex zijn, ofwel het priemgetal 1+i (of een geassocieerde eraan: 1-i,-1-i,-1+i).

Het resultaat dat je in de vraag ook nog meegaf en dat je hier dus niet nodig hebt, gaat als volgt:
Als a priem is, dan N(a)=2 ofwel N(a) is van de vorm 4n+1. Dat is vrij eenvoudig in te zien: N(a)=x²+y², en een kwadraat is altijd 0 of 1 (mod4). Dus de som is 0,1 of 2 (mod4).
- Als x²+y²=0 (mod4), dan betekent dit dat x² en y² 0 zijn (mod4), of dus dat x en y even zijn, dus dat kan niet want dan is a=x+yi deelbaar door 2 en dus deelbaar door 1+i.
- Als x²+y²=2 (mod4) dan betekent dit dat x² en y² 1 zijn mod4 of dus dat x en y allebei oneven zijn. Ook hier zal 1+i altijd een deler zijn (reken maar eens (x+yi)/(1+i) uit met x en y oneven, dat komt altijd Gaussisch geheel uit). Dus de enige priemen in dit geval zijn 1+i,1-i,-1+i,-1-i.

Oef, ik ben er geraakt

Groeten,
Christophe.

Christophe
17-10-2004