WisFaq!

Beeldpunten enz

Beste Wisfaq,

ik zit al een hele tijd te piekeren op de volgende opgaven:

opgave 1)
we weten z=complex getal¹0 en f(z)= (2-iz)/(1-z)=z'

Indien M beeldpunt is van een getal z en M' beeldpunt van het beeld z', toon dan aan dat |OM|= |CM'|/|DM'|, waarbij O beeldpunt is van O, C en D resp. van de getallen 2 en i.

Hoe moet ik dit aanpakken?


De volgende opgave is me echter nog een groter raadsel nl:
opgave 2)
Toon aan dat, als M de cirkel met middelpunt O en straal 1 beschrijft (behalve het reëel getal 1), dat M' dan een rechte doorloopt. Bepaal die rechte. (bekijk de verschillende verzamelingen van M' als beeld onder f van M, opeenvolgende concentrische cirkels met middelpunt O doorloopt (eventueel met Derive))

Kan iemand me ook hierbij een duwtje in de rug geven aub zodat ik wat verder kan?

Dank bij voorbaat,

Sabine
12-10-2004

Antwoord

Hallo,

Opgave 1[ik herken de opgave van je vorige vraag :p]
Als A en B de beeldpunten zijn van complexe getal a en b, dan is |AB| = |a-b|. (Ik vind de term "beeldpunten" zeer verwarrend: bij de term "beeld" denk ik altijd "het resultaat van een functie", en dat is in deze situatie niet het geval!)

|OM| = |z|
|CM'| = |2 - (2-iz)/(1-z)|
|DM'| = |i - (2-iz)/(1-z)|

Verifieer dat de gestelde relatie inderdaad klopt.

Opgave 2
Stel z = cos(t) + i sin(t), t in [0,2p], zodat z (of M, ik gebruik ze door elkaar) inderdaad een cirkel doorloopt.

Is er een lineair verband (onafhankelijk van t) tussen de y-coordinaat en de x-coordinaat van M'? Is er met andere woorden een lineair verband tussen het imaginaire en het reele deel van z'?

Als je het lineaire verband niet meteen ziet: bepaal twee speciale punten naar keuze van de kromme die M' beschrijft en stel de vergelijking op als die kromme een rechte zou zijn. Voldoen de *algemene* punten M' = [Re(z'),Im(z')] aan die relatie?

Zo zou het moeten lukken, toch?

cl
12-10-2004