WisFaq!

Bewijzen, axioma`s, definitie etc

Ik heb moeite met om de termen axioma, definitie, voorbeeld etc. uit een wiskundige tekst te halen. Kunnen jullie me dit voorbeeld eens uitleggen:

Opgave 3

Geef voor onderstaande tekst per regel of groep van regels aan of het gaat om een axioma, definitie, voorbeeld, vermoeden, bewijs, stelling gevolg.

Welk ‘omgekeerde’ wordt in regel 11 bedoeld?

Wat rechtvaardigt de aanname in regels 5-6?

Welke bewijstypes herkent u?

Op welke logische equivalentie berust het ‘immers’ in regels 7-8?

1. Een getal in heet even als het deelbaar is door
2. De getallen 2 en-2 zijn even. Ook 0 is even.
3. Een getal heet oneven als het niet even is.
4. Als x² even is, dan is x even.
5. Om dit aan te tonen mogen we zonder beperking der algemeenheid
6. aannemen dat x Î .
7. We laten nu zien dat als x oneven is, dat dan x² oneven is (dan volgt
8. immers de bewering).
9. Welnu, is x oneven dan is x= 2m + 1 voor een m Î en volgt
10. dat x² = 4m² + 4m + 1, wat inderdaad oneven is.
11. Het omgekeerde is eenvoudiger te bewijzen:
12. is x even, dan is x = 2m voor een m Î en volgt dat x² = 4m², wat even
is.

Loes van Voorst
10-10-2004

Antwoord

1) Dit is duidelijk een definitie. Er wordt immers afgesproken wat men onder het begrip 'even' wenst te verstaan.
2) Dit is een voorbeeld. De drie genoemde getallen zijn ten eerste geheel (dus uit ) en alle door 2 deelbaar en dús even.
3) Een definitie. Gebruik hetzelfde argument als bij 1
4) Een stelling. Er wordt beweerd dat als je weet dat een getal x² even is, het getal x óók even moet zijn. Dit is bewijsbaar en daarmee is het een stelling.
5/6) Het kijken naar negatieve getallen geeft geen extra inhoud aan de uitspraak. Als bijvoorbeeld wordt gezegd dat x² = 4, dan kan x = -2 resp. x = 2 zijn en in beide gevallen gaat het dus inderdaad om een even getal. Maar omdat het om tegengestelde getallen gaat, kun je je net zo goed beperken tot alleen x = 2. Je zou overigens voor hetzelfde geld ook kunnen afspreken om alleen naar de negatieve getallen te kijken, maar dat is misschien iets minder voor de hand liggend.
11) Er is bewezen dat als x² oneven is, dat dan x even moet zijn. Het omgekeerde zegt nu: als x even is, dan is x² óók even. Bedenk hierbij dat stellingen niet altijd zomaar om te keren zijn. Bijvoorbeeld: als x = 2, dan is x² = 4 een juiste bewering. Maar als je, omgekeerd, weet dat x² = 4, dan is het geenszins zeker dat x = 2. Het zou net zo goed x = - 2 kunnen zijn.

MBL
10-10-2004