WisFaq!

Differentiaal vergelijking met Laplace

Los het volgende beginwaarde probleem op.
y''(x) - y(x) = H₁(x)
y(0) = 0, y'(0) = -1

met H₁(x) de indicatorfunctie.

Ik kom op een antwoord dat volgens mij niet goed is.
Y := L(y(x))
y''(x) - y(x) = H₁(x)
s²Y - sy(0) - y'(0) - Y = ^exp(-s)/_s
Y(s² - 1) = ^exp(-s)/_s - 1
Y = ^exp(-s)/_{s(s^2 - 1)} - ¹/_{(s^2 - 1)}

Na breuksplitsing volgt:
Y = exp(-s)(^-1/_s + 0.5*¹/_s+1+0.5*¹/_s-1) - ¹/_{s^2 - 1}

Nu maakt het voor dit voorbeeld niet zoveel uit, maar ik wou het toch even vragen. Als je als Laplace getransformeerde 0.5*exp(-s)¹/_s+1 hebt, wat is dan de originele functie?
Is dat 0.5H₁(x)*exp(-(x+1)) of 0.5H₁(x)*exp((x+1)) ?

Voor y(x) krijg ik H₁(x)* (-1 +0.5*exp(-(x+1)) + 0.5*exp(x+1)) - sinh(x) ofwel,
H₁(x)* (-1 +0.5*exp(-(x+1)) + 0.5*exp(x+1)) - 0.5*exp(x) - 0.5*exp(-x)
Vullen we nu in x de waarde 0 in, dan krijgen we y(x) = -1 ¹ 0

Mrbomb
8-10-2004

Antwoord

Je schrijft

Y(s).(s² - 1) = exp(-s)/s - 1

maar dat moet zijn

Y(s).(s² - 1) = exp(-s)/s + 1

zodat

Y(s) = exp(-s)/(s(s²-1)) + 1/(s²-1)

Over je vraag: de inverse van exp(-s)/(s+1) is H1(x).exp(-(x+1)). Als je twijfelt bij eigenschappen van de Laplacetransformatie: reken de bewuste integraal uit!

cl
10-10-2004