WisFaq!

Parametervergelijkingen - raaklijnen

hallo,

wij moeten voor wiskunde zelf een hoofdstuk verwerken. Ik zit bij een oefening een beetje strop en daarom hoop ik datjullie me enige hulp kunnen bieden

Een kromme k heeft als parametervergelijking:
x= t²
y= t³ - 4t

ik moet nu aantonen dat k twee raaklijnen heeft in het punt P (4,0) en de vgl bepalen

voor de vgl van de raaklijnen te bepalen heb ik wat opzoek werk gedaan en dit is wat ik eruit gehaald heb

de vgl van een raaklijn is

y-y1 = f'(x1) (x-x1)

als je dit toepast op het Punt P krijg je

y-0 = f'(4) ( x-4)
je moet dus f'4) zoeken hiervoor moet je van je oorspronkelijke functie de afgeleide functie zoeken en die waarden invullen maar je hebt geen functie naar x.

ik denk dus dat je dit dan best herschrijft

y' = (dy/dt) / (dx/dt) = dy/dx
= (t³ - 4t) / t² en dit geheel afleiden
dit weet ik niet goed hoe ik dit moet doen aangezien ik niet goed weet of t nu een functie is of niet en je dus het formuletje
(fⁿ) '=
of (xⁿ)'=
moet gebruiken
bovendien bekom je dan een raaklijn en je zou er twee moeten hebben dus hier kan ik ook niet helemaal aan uit
ik hoop dat jullie me wat bijstand en hulp kunnen verlenen
bedankt!

nicky
8-10-2004

Antwoord

Eerst gaan we bepalen voor welke t-waarden je in het punt (4,0) terecht komt. De vergelijking t² = 4 geeft het antwoord en dat levert twee t-waarden op, namelijk t = -2 resp. t = 2. Wel even nagaan of de bijbehorende y-waarde inderdaad 0 wordt! Invullen van t = -2 of t = 2 levert inderdaad y = 0 op.
De kromme gaat dus blijkbaar twee keer door het punt (4,0) en vandaar dat er twee raaklijnen kunnen zijn.

De richtingscoëfficiënt van de raaklijnen langs dit type kromme haal je inderdaad uit de formule van dy/dx.
Je vindt dy/dx = (3t²-4)/2t want dy/dx = 3t² - 4 en dx/dt = 2t. Dit is het punt in je vraag waar je de fout ingaat.

Vul nu in de formule van dy/dx eerst t= -2 in en vervolgens t = 2. De waarden die je dan krijgt zijn de hellingsgetallen van de twee gezochte raaklijnen. Tezamen met het punt (4,0) kun je de bijpassende vergelijkingen dan opschrijven.

Als je je grafische rekenmachine op de mode PAR zet en je voert de formules voor x en y in, dan zie je hoe het in elkaar zit. Met de optie 'teken de raaklijn' kun je de gevonden resultaten zelfs in beeld brengen.

MBL
8-10-2004