WisFaq!

Re: Herleiden?

Ik heb het antwoord puur algebraisch nodig dus niet doormiddel van raak lijn maar ik moet het oplossen namelijk.

Dus ik mag raaklijn niet gebruiken

christian Sambo
6-10-2004

Antwoord

Ik kan moeilijk iets algebraisch aantonen dat niet juist is:
Kies b.v. x=0.001,
dan: ln(1+0,001/0,001)/0,001=ln(2)/0,001=1000*ln(2)69,31.
En 1/x=1/0,001=1000.

Waar je mee bezig bent heeft te maken met limieten.
Ik heb je laten zien dat de betrekking bij benadering waar is voor x-waarden die niet te dicht bij nul liggen.
Als ik nu even afzie van het gebruik van een aantal standaardlimieten (of was dat misschien de bedoeling? ik had dan wel graag het woord limiet gezien), dan kun je ook op de volgende manier inzien dat het gestelde bij benadering juist is:
ln(1+(0,001/X))/0,001=
ln((x+0,001)/x)/0,001=
(ln(x+0,001)-ln(x))/0,001.
We herkennen hierin het differentiequotient van de functie ln(x) op het interval [x;x+0,001]
Kiezen we nu i.p.v. 0,001, Dx, dan krijgen we:
(ln(x+Dx)-ln(x))/Dx.
Laten we nu Dx tot nul naderen (we nemen de limiet voor Dx nadert tot nul), dan nadert (ln(x+Dx)-ln(x))/Dx tot de afgeleide van ln(x).
Aangezien deze afgeleide gelijk is aan 1/x geldt dat in de limiet voor Dx®0 ln(1+(Dx/X))/Dx gelijk is aan 1/x.
Maar eh, heb ik nu eigenlijk wat anders gedaan als met die raaklijn?

En als het dan met een of andere standaardlimiet moet, hoe is die dan afgeleid? Ook toch op een soortgelijke manier?

hk
7-10-2004