WisFaq!

Re: Recurrente relatie oplossen

Dus je kan gelijk al stellen dat de formule Xt = 3 Xt-1 -2^t leidt tot dit: Xt=a×3t+b×2t ?

Zo ja, hoe dan?

Xavier
6-10-2004

Antwoord

Als ik kijk naar jouw oorspronkelijke vraag en de 1e poging tot oplossen:
Vraag: Los deze recurrente relatie op:
Xt = 3 Xt-1 -2^t

1e poging tot oplossen:
c · -2^t = 3·c·-2^(t-1)-2^t
c = c -2^t
ofwel geen oplossing

Dan veronderstel je op de eerste regel kennelijk dat er een x(t) van de vorm c·-2^t een oplossing is.
Op de tweede regel van deze oplossingsmethode maak je een fout, immers:
Uit c · -2^t = 3·c·-2^(t-1)-2^t volgt:
-c·2^t=-3c·2^t-1-2^t
We kunnen dit omschrijven tot:
-c·2^t=-1¹/₂c·2^t-2^t
Delen door 2^t levert:
-c=-1¹/₂c-1, dus ¹/₂c=-1, dus c=-2.
We hebben nu gevonden dat x(t)=2×2^t een oplossing is van de recurrente betrekking.

Daarmee zijn we kennelijk nog niet klaar want we willen alle oplossingen hebben. Daartoe gaan we als volgt te werk:
We bekijken de geassocieerde recurrente betrekking:
Xt = 3 Xt-1.
Alle rijen van de vorm Xt=a×3^t zijn oplossingen van deze geassocieerde recurrente betrekking, immers:
3×Xt-1=3×a×3^t-1=a×3^t.

Als dat zo is en we hebben een g_t die voldoet aan de recurrente betrekking, dan vormt de rij x_t=a×3^t+g_t de algemene oplossing, immers:
3×x_t-1-2^t=
3×(a×3^t-1+g_t-1)-2=
a×3^t+3g_t-1-2^t
Als dit gelijk moet zijn aan a×3^t+g_t, dan moet g_t=3×g_t-1-2^t
En dit is zo want g_t voldeed aan de recurrente betrekking.
We hadden dus
1)de particuliere oplossing g_t=2×2^t
2)de geassocieerde recurrente betrekking met oplossingen a×3^t

Conclusie:
a×3^t+2×2^t vormt de algemene oplossing.

Een aardige verdieping van de opdracht zou kunnen zijn:
Gegeven de recurrente betrekking:
X(t)=a·X(t-1)+b·c^t.
Bewijs dat er een getal d bestaat, zo dat
X(t)=aa^t+d·c^t de algemene oplossing is van deze recurrente betrekking.

hk
7-10-2004