WisFaq!

Convexe functies

Ik wil onderzoeken of de volgende functie een convexe functie van x is:
n(k,x)= [(1+x6*(q^-1)/(x4-x5*(q^-1)]*y(k)
- [{(q^-1)(1+x1(q^-1))}/{1+x2(q^-1)+x3(q^-2)}]*u(k)

hierbij is x de volgende vector: x = [x1 x2 x3 x4 x5 x6] en (q^-1) een 'backward shift operator' zodat
(q^-1)*u(k)=u(k-1)

Gegeven: q kan constant verondersteld worden.

De functie kan natuurlijk opgesplitst worden in twee delen en moet er per stuk bekeken worden of de functie convex is (dan is de som ook convex).
Maar de twee delen apart bestaan nog steeds uit meerdere variablen. Hoe pak ik dit aan?

Fred

Fred
4-10-2004

Antwoord

De functie n(k,x) herschrijven:
1. Door de 1e breuk onder en boven met q en de 2e breuk onder en boven met q² te vermenigvulden
2. het 2e deel bevat: (q^-1)*...*u(k). Dit is te schrijven als: u(k-1)/u(k)*...*u(k)=u(k-1)*...
Het wordt dan:

n(k,x)=^q+x6/_q.x4+x5y(k) - ^q(q+x1)/_q²+qx2+x3u(k-1)

Als er dan de 2e afgeleidde van x5 genomen wordt:
¶²n(k,x)/¶²x5=2.^q+x6/_(q.x4+x5)³y(k)
Deze functie is niet voor alle x5 groter gelijk 0. Dus n(k,x) is niet convex.

TvR
11-10-2004