WisFaq!

Transformatieformules

Opgave: Bepaal de transformatieformules bij overgang naar een nieuwe ijk (O1', O2',O3', E') en waarbij de projectieve coördinaten van de nieuwe grondpunten en het nieuwe eenheidspunt zijn gegeven t.o.v. de oude ijk. Bepaal dan ook de nieuwe coöridinaten van het punt P met oude ijk. Bepaal dan ook de nieuwe coördinaten van het punt P met oude coördinaat (3,5,2).
Coördinaten van de nieuwe ijk resp. gegeven door:
(2,1,3) ; (3,2,1) ; (1,3,2) ; (1,1,1)

Ik ging als volgt te werk:

[2·k·1 + 3·k·2 + k·3; k·1 + 2·k·2 + 3·k·3; 3·k·1 + 1·k·2 + 2·k·3] = [k·4; k·4; k·4]

waaruit het volgende stelsel volgt:
2k1 + 3k2 + k3= k4
k1 + 2k2 + 3k3 = k4
3k1 + k2 + 2k3= k4

we stellen r= k1/k4 ; s=k2/k4 ; t= k3/k4

en dus:
3r + 3s + t=1
r + 2s + 3t= 1
3r + s + 2t = 1

Daaruit moet dan r, s en t worden gehaald... om op die manier de matrix M te vinden van

[x; y; z] = M [x'; y'; z']
- [x'; y'; z']= M^(-1)[3; 5; 2]

Is deze lange weg steeds noodzakelijk? Of doe ik iets verkeerd?

Alvast bedankt voor jullie hulp...

Sabine
4-10-2004

Antwoord

Als er naar een afbeelding gevraagd wordt van de vorm:
x'=Mx + T ,
dan kan het veel sneller berekend worden.
Uit E'=M.E + T = T volgt direct T:
T=[1,1,1]

Daar M.i de bovenste rij van de matix oplevert, en M.j de middelste en M.k de onderste is veel sneller de matix te bereken. Verder uitgewerkt voor
O'= M.i+ T = M.i + [1,1,1] = [2,1,3] volgt
M.i = [2,1,3]-[1,1,1]=[1,0,2] Dit is de bovenste rij.
Evenzo voor j en k levert de andere rijen van de matrix op.

TvR
5-10-2004