WisFaq!

Logaritmetafels

Hoe vind je als je de tabel uitwerkt dan ooit het getal 2 of 3 enz? Mischien snap ik het ook niet helemaal, maar zou u het wat kunnen verduidelijken en verder uit kunnen werken. O, ja en zou u in het nederlands kunnen antwoorden, want ik heb eerder iets gevraagd en daar kreeg ik steeds engels antwoord op. Daar kan ik op zich wel wat me maar dat vertalen gaat met die termen in het engels zo moeilijk.
Al vast bedankt

Piet
19-4-2002

Antwoord

De manier van het berekenen van logaritmen in de zeventiende eeuw berust op het steeds meer insluiten van het getal. Daarbij speelde het begrip 'middelevenredige' de doorslaggevende rol.

Als je twee getallen A en B hebt, dan is de middelevenredige van dit tweetal gelijk aan √AB.
Het gevolg hiervan is het volgende:
log√AB = log(AB)^½ = ½.log(AB) = ½.(logA + logB), en dat is precies het gemiddelde van de logaritmen van A en van B.

Stel nu dat je bijvoorbeeld log 9 wilde hebben. Men redeneerde dan als volgt: omdat 9 tussen 1 en 10 ligt, zal log 9 tussen 0 en 1 liggen.
Neem nu A = 1 en B = 10 en neem daarvan de middelevenredige C = √AB = √10.
Op grond van hetgeen boven staat weet je nu dat de logaritme van C het gemiddelde is van die van A en van B.
Je vindt: log√10 = log(3,1622..) = 0,5.
(overigens wist je dat natuurlijk al, maar het gaat alleen maar om het idee).
Omdat het getal C kleiner is dan 9, herhaal je deze stap van de middelevenredige, maar nu met de getallen C en B.
(noem de middelevenredige van C en B dan maar D).

De truc berust erop dat je steeds een getal onder de 9 en een getal boven de 9 moet kiezen. Je krijgt dan:
log√(10√10))=log(5,6234...) = 0,75
Zo ga je door (gauw gezegd, maar je rekent je dus wel suf!) en dan zul je zien dat je na een heleboel van deze stappen steeds dichter bij de 9 komt te zitten.

Ik lees in een hieraan gewijd boek dat men per getal wel zo'n 25 keren deze middelevenredige moest bepalen, dus 'eventjes logaritmen maken' was er niet bij.
Later ontdekte men dat men functies kon schrijven als oneindig voortlopende series van machten. Na die ontdekking ging het allemaal een heel stuk vlugger: je rekent natuurlijk heel wat vlotter een stel machten uit dan dat je eindeloos vaak gemiddelden van logaritmen moet bepalen.
Het engelengeduld dat men, zo'n 400 jaar geleden, opbracht om tabellen met logaritmen te maken dwingt dan ook wel erg groot respect af.

MBL
19-4-2002