WisFaq!

Deling met rest

Hallo wisfaq,

Ik heb een vraag over het bewijs van de volgende stelling:
Zij R een ring, en laat f en g in R[x] polynomen zijn.Steldat g ongelijk een kopcoefficient heeft in de eenhedengroep R'.Dan bestaan er polynomen q,r in R[x]met
f=qg+r en deg(r)deg(g).
Ik begrijp het bewijs helemaal op een ding na.Ik zal dit deel van het bewijs opschrijven.
Stel we hebben fg in R[x], f en g ongelijk 0 en
f=gq1+r1, deg(r1)deg(g)
f=gq2+r2, deg(r2)deg(g)
Deze twee uitdrukkingen van elkaar aftrekken geeft,
g[q1-q2]=r2-r1
Er geldt r2-r1=0 of deg(r2-r1)deg(g).
Ik begrijp niet waarom deg(r2-r1)deg(g) en hoe ik dit moet bewijzen.

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
3-10-2004

Antwoord

Als je 2 polynomen r1 en r2 optelt (of van elkaar aftrekt), dan betekent dit dat je de coëfficenten van gelijke graden optelt of aftrekt. Hierdoor wordt de graad van r1+r2 nooit groter, en kan alleen kleiner worden, namelijk als de coëfficient van de hoogste graad van r1 en r2 tesamen 0 opleveren.
Er geldt altijd: deg(r1 + r2) = max( deg(r1), deg(r2) ).
In dit geval betekent dit daar deg(r1)deg(g) EN deg(r2)deg(g) dat:
deg(r1 + r2) = max( deg(r1), deg(r2) ) max( deg(g), deg(g) = deg(g). Hier staat :
deg(r1 + r2) deg(g)

TvR
4-10-2004