WisFaq!

Cosē(b/2) + cosē(c/2) - cosē(a/2) = 2sin(a/2)cos(b/2)cos(c/2)

Zou er me iemand kunnen vertellen hoe je bewijst dat:

cos²(b/2) + cos²(c/2) - cos²(a/2) = 2sin(a/2)cos(b/2)cos(c/2)

geldt in een gewone driehoek. Zelf heb ik al dit berekent:

(1+cosb)/2 + (1+cosc)/2 - (1+cosa)/2
(1/2)*(-cosa + cosb + cosc + 1)
a = 180° - (b+c)
cosa = -cos(b+c)
(1/2)*(cos(b+c) + cosb + cosc + 1)
// Hierna weet ik niet meer zeker wat ik moet doen, heb geprobeerd de forumles van Simpson te gebruiken op cosb+cosc en na wat vereenvoudigen en afzonderen krijg je dan hetvolgende:

(1/2)*(cos(b+c)*(1+cos(b-c))+1)

Maar als je dit krijgt lijkt 2sin(a/2)cos(b/2)cos(c/2) toch verder weg dan ooit, zeker als je nog een keer alle hoeken gedeeld moet krijgen. Is er iemand die me kan helpen ?

Stijn C
1-10-2004

Antwoord

Dag Stijn

Het ware misschien handig, aangezien in de opgave alleen maar "halve hoeken" staan, alle halve hoeken te laten staan. Vervang zowel in het linker- als het rechterlid de cos(^c/₂) door sin(^(a+b)/₂). Die sinus kan je als volgt verder uitwerken:

sin(^(a+b)/₂)
=sin(^a/₂)*cos(^b/₂)+cos(^a/₂)*sin(^b/₂)

Na wat vereenvoudigen (gebruik makende van cos²(x)+sin²(x)=1) zal je zien dat het linker en rechterlid gelijk zijn.

Ok?

Groetjes

Igor
1-10-2004