WisFaq!

Priemgetallen

Bevat de rij 10001,100010001, 1000100010001, ... een priemgetal?
Dit is een rekenkundige rij met (1-10⁴⁽ⁿ⁺¹⁾)/ (1-10⁴).
Dit kan je uit elkaar halen tot ((1+10²ⁿ⁺²)(1-10²ⁿ⁺¹))/((1-10²)(1+10²))
Maar hoe moet ik nu verder om te laten zien dat er geen priemgetal is in deze rij?
Alvast bedankt

jantine
30-9-2004

Antwoord

Dag Jantine,

De rij is niet rekenkundig, en zelfs niet meetkundig, maar elke term van de rij is zelf de som van een meetkundige rij.
Je kent blijkbaar de formule voor deze som.
Je kunt teller en noemer nog verder ontbinden.
Maak nu onderscheid tussen even en oneven waarden van n.
Eerst de even waarden van n:
Kun je nu aantonen dat 10⁽ⁿ⁺¹⁾ + 1 gedeeld kan worden door 10 + 1 als n even is (dus n+1 oneven)
En dat 10⁽ⁿ⁺¹⁾ - 1 gedeeld kan worden door 10 - 1? (altijd)
En dat 10⁽²ⁿ⁺²⁾ + 1 gedeeld kan worden door 10² + 1 als n even is?
Dan zul je constateren dat wat je overhoudt een product is van drie factoren, en dus niet priem kan zijn.
Voor oneven waarden van n is de bijbehorende term deelbaar door 10001 (met dank aan TvR):
* a(1)=10001 = 73 · 137
* a(n+2) = 10⁸ a(n) + 10⁴ + 1
dus voor oneven n geldt: 10001 deelt a(n)
en is dus niet priem!
groet,

Anneke
1-10-2004