WisFaq!

Oplossingen voor Diophantische eerstegraads vergelijkingen

Is er een algemene manier om oplossing(en) te vinden voor een vergelijking met 2 getallen met ggd = 1 b.v. :
666x + 2003y = 1
of moet je gewoon proberen ?

s. Lipniski
28-9-2004

Antwoord

De Diophantische eerstegraads vergelijking ax+by=c heeft gehele oplossingen voor x en y, als c een veelvoud is van de Grootste Gemene Deler van a en b: c/gcd(a,b) moet een geheel getal zijn. De oplossing is van de vorm:
x = X₀ + k.b /gcd(a,b)
y = Y₀ + k.a /gcd(a,b) met k Î

De oplossingen vind je met het Euclidische algoritme, een recursief algortime waarbij
gcd(a, b-a*iPart(b/a)) de volgende waarden van a en b levert.

Voorbeeld met 13 x + 43 y = 1:
iPart(b/a) = 3
gcd(a, b-a*iPart(b/a))= 4
Dit is te schrijven als
13 (x + 3y) + 4 y = 1.

Met x₁ = x + 3y wordt dit: 13 x₁ + 4 y = 1.

Nogmaals toepassen van het algoritme levert.
x₁ + 4(y+ 3x₁)= 1.
Met y₁=y+3x₁ wordt dit: x₁ + 4y₁ = 1.

Alle oplossingen van x₁ + 4y₁ = 1 zijn:
y₁= k,
x₁ = 1 – 4k met k Î .
Terugwerken naar x en y:
y = y₁ – 3x₁ geeft: y = k -3 (1-4k) = k-3 + 12 k= -3 + 13k
en
x = x₁ – 3y geeft: x = 1 – 4k –3(13 k-3) =1-4k-39k+9 =10 -43k

Totale oplossing is:
x = 10 - 43k
y = -3 + 13k met k Î

TvR
28-9-2004