WisFaq!

Stelling van Pythagoras

Ik maak een praktische opdracht wiskunde over de stelling van Pythagoras. Ik weet dat dit de zoveelste vraag over deze stelling is, maar toch heb ik er weer een.
Ik heb een aantal bewijzen gevonden voor deze stelling, maar dit bewijs snap ik niet:

3.3 Een bewijs van Nasir Edden (1201 - 1274).

Het volgende bewijs komt van Nasir Edden. Hij heeft dit bewijs geleverd, maar Faifoier wist in 1903 deze stelling te vereenvoudigen. Bij dit bewijs is er alleen maar gebruik gemaakt van congruentie (d.w.z. dat de driehoeken wat betreft vorm en afmetingen hetzelfde zijn).



In bovenstaande figuur is de driehoek ABC afgebeeld met de uitgeslagen vierkanten.

BC = a
AC = b
AB = c
Als je BC verlengt en dan vanuit de het verlengde een loodlijn trekt naar D, krijg je een nieuwe driehoek.
Driehoek BED congrueert met driehoek ABC. Dus:
BC = DE = zijde a

Driehoek BCG heeft een oppervlakte van ¹/₂ a²

Rechthoek FHAI is gelijk aan b² en de helft hiervan aan ¹/₂ b²
Hetzelfde geldt ook voor de helft van vierkant DHAB die gelijk is aan ¹/₂ c²
Hieruit volgt:
¹/₂ a² + ¹/₂ b² = ¹/₂ c²

a² + b² = c²

Ik snap niet hoe ze aan dit bewijs komen, immers zijn de zijdes BC en DE niet congruent en daardoor snap ik niet hoe dit bewijs verder verloopt. Kunt u voor mij alstublieft stap voor stap uitleggen hoe dit bewijs in elkaar steekt. Erg bedankt ervoor...

Met vriendelijke groetjes

Marleen

Marleen Kamminga
27-9-2004

Antwoord

Dag Marleen,

Allereerst dit.
Het figuurtje dat je hierboven laat zien, behoort niet bij het bewijs van Nasir Eddin (c.q. van Faifofer).
Het is het bewijs van de Stelling van Pythagoras dat voorkomt in het boek van Jacob de Gelder: "Handleiding tot de beschouwende en werkdadige meetkunde".

We kijken nog eens naar twee beweringen.
- Enerzijds merk je op: BC = DE = a
- En ook: [...] de zijdes BC en DE zijn niet congruent.
Maar dat zijn ze wel!
De driehoeken ABC en BDE zijn congruent (ZHH) , immers:
(1) AB = BD, (2) hoek C = hoek E = 90° en (3) hoek A = hoek B
waaruit volgt dat BC = DE.

N.B.
Dat hoek A = hoek B, kan je gemakkelijk zien door te kijken naar de hoeken EBD, DBA = 90 en CBA (samen 180) en naar de hoeken in driehoek ABC.

Dan kijken we naar de driehoeken BDI en BDC. Deze driehoeken hebben dezelfde basis (BD) en dezelfde hoogte, immers C en I liggen beide op een lijn evenwijdig met BD (op de lijn CF).
Zodat O(BDI) = O(BDC) = ¹/₂.DE.BC = ¹/₂a²
(Hier gebruik je dus dat BC = DE.)
Maar driehoek BDI is de helft van de rechthoek BDFI (DI is een diagonaal), zodat
O(BDFI) = 2.¹/₂a² = a².
Kijk nu goed naar de figuur, die je hebt weergegeven.
Door CA te verlengen (niet in Bruno Ernsts boekje tekenen, maar op de scan!) kan je uit H een loodlijn neerlaten op het verlengde van CA (stel het voetpunt van de loodlijn is K).
Dan kan je bewijzen dat HK = b (met congruentie van dit keer ABC en AHK).
En met dezelfde stappen waarmee je hebt aangetoond, dat O(BDFI) = a², kan je bewijzen dat O(AHFI) = b².
En dan geldt:
c² = O(ABDH) = O(BDFI) + O(AHFI) = a² + b²

Zo ietsje duidelijker?

dk
28-9-2004