WisFaq!

Limieten

Ik loop bij het bereken van de limieten voordurend vast. Ik heb vaak geen idee waar ik moet beginnen. Hoe moet ik 'goochelen' met de functies? enkele voorbeelden zijn:
lim (sinx)²/x als x- 0 is toch 0??
lim ((x+h)-x²)/h als h-0
lim ((e^h)-1)/h als h- 0
lim (cosx -1)/x² als x- 0
lim xy/(x²+y²+2) als (x,y) - (0,0)
lim (cosx -1 - (x²/2))/(x^4+y^4) als (x,y) - (0,0)
lim ((x-y)²)/(x²+y²) als (x,y)- (0,0)
Ik hoop dat u mij wat verder kunt helpen, want de moed zakt me in de schoenen bij deze opdrachten
alvast bedankt, jantine

jantine
21-9-2004

Antwoord

lim (cos(x) -1)/x² als x®0.
Probeer eerst x=0 in te vullen. Als er dan bijvoorbeeld 3/4 uitkomt, heb je de limiet gevonden. Zou er 3/0 komen, dan was de limiet onbestaand, althans niet eindig. Maar hier komt er 0/0. Dat is een geval waar je l'Hôpital kunt toepassen. We krijgen dan lim sin(x)/(2x) met x®0. Weer 0/0. Nogmaals l'Hôpital geeft lim cos(x)/2 met x®0.
Nu komt er cos(0)/2=1/2.
Een alternatief: vul voor cos(x) de bijbehorende machtreeks in, vereenvoudig, en neem dan termsgeswijs de limiet voor x®0.

lim ((x+h)²-x²)/h als h®0. Bij invullen van h=0 komt er 0/0, dus je kunt l'Hôpital toepassen. Dat geeft 2(x+h)/1. Als je dan weer h=0 invult, komt er 2x.
Een alternatief is dat je ((x+h)²-x²)/h vereenvoudigt tot 2x+h. Als je dan weer h=0 invult, komt er 2x.

Bij functies van twee variabelen is het een stuk ingewikkelder. Dat kunt u beter pas vragen als u de limieten van functies van 1 variabele onder de knie hebt.

hr
23-9-2004