WisFaq!

Kansverdeling van Y=(X-X²) X~Uniform

Kies blindelings een getal X in het interval (0,1). Beschouw nu de rechthoek die gevormd kan worden met de twee ontstane deelintervallen. Noem de oppervlakte van deze rechthoek Y.
a) Bepaal de dichtheid van de oppervlakte Y
b) Bereken de verwachting en de variantie van Y

Ik ben begonnen de verdelingsfunctie van Y te bepalen, maar ik loop vast doordat de dichtheid waar ik op uitkom niet tot 1 integreert.
P(Yy) = P(X-X²y) = 1 - P(X²-X+y0)
dan verder met de abc-formule:
= 1- P(XÎ(1/2-1/2Ö(1-4y), 1/2+1/2Ö(1-4y)))
Daar X Uniform verdeeld is kwam ik uit op 1- Ö1-4y

Waar gaat het fout, of hoe moet ik verder?

Veronica Bartelds
20-9-2004

Antwoord

Hoi Veronica,

op een typfout na (namelijk P(X-X²y) = 1-P(X²-X+y0)) ben ik het wel met je eens dat:
P(Yy) = 1-Ö(1-4y).
voor y=0 vind je netjes dat P(Y0)=0 en voor y=1/4 (dat is de maximaal haalbare oppervlakte) krijg je P(Y1/4)=1. Natuurlijk moet je buiten het interval (0,1/4) de verdelingsfunctie met 0 respectievelijk 1 voortzetten (de dichtheidsfunctie is daar dus nul), omdat de oppervlakte Y geen waarden buiten dat interval aan kan nemen.

De kansdichtheidsfunctie vind je door de afgeleide van de door jou gevonden verdelingsfunctie te nemen. Deze integreert dan uiteraard wel tot 1, omdat de verdelingsfunctie, die de primitieve van je dichtheidsfunctie is, netjes van 0 tot 1 loopt.

De verwachting en variantie vind je dan door de goede integralen met de dichtheidsfunctie uit te rekenen.
Ik hoop dat ik je hiermee weer wat verder heb geholpen.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

gt
21-9-2004