WisFaq!

Nogmaals homothetie

hoi, :D ik heb weer jullie hulp nodig...graag helpen!

A en B verschillende punten in een vlak P.
1) toon aan dat er voor elk punt M in P één punt bestaat zodat M'A-2M'B-M'M=0
deze is niet moeilijk, Stel dat N een ander punt waarvoor geldt dat NA-2NB-NM=0 na wat bewerkingen krijg je als eindconclusie M'=N.

2) toon aan dat h de afbeelding van P naar P zodat h(M)=M' een homothetie en vind het centrum en de factor ervan.
hiet zit ik een beetje vast.

een idee: M' is het barycentrum van (A,1),(B,-2) en (M,-1)


alvast bedankt.

Zurich
19-9-2004

Antwoord

1) Het is niet zo duidelijk of je nu bewezen hebt dat er effectief zo een punt bestaat. Dat kan je bijvoorbeeld doen door te maken dat er slechts een vector overblijft waarin M' voorkomt. Die vector bepaalt dan de plaats van M' (tov het andere punt van de vector waarin M' voorkomt), aangezien alle andere vectoren in de uitdrukking dan gekend zijn.

M'A - 2M'B - M'M = 0
(M'M + MA) - 2M'B - M'M = 0
MA - 2M'B = 0
M'B = (1/2)MA
BM' = (1/2)AM (*)

Voor een gegeven A,B en M is dus de relative positie van M' tov B volledig bepaald door bovenstaande uitdrukking.

2) Laten we er eerst van uit gaan dat met de vergelijking effectief een homothetie beschreven wordt. Wat is dan het centrum? Het punt C waarvoor h(C)=C, dus

BC = (1/2)AC

wat je eventueel nog via BC=BA+AC kan herwerken tot AC=2AB. De conclusie blijft dezelfde: het centrum is het punt C zodat B het midden is van het lijnstuk AC.

Als h werkelijk een homothetie is, dan geldt voor elk punt M dat CM' = k.CM. Volgt dit uit (*) ? Laten we het punt C in (*) introduceren, als alles goed gaat zouden A en B moeten verdwijnen.

BM' = (1/2)AM
[BC+CM']=(1/2)[AC+CM]

Aangezien BC=(1/2)AC vallen die termen weg en blijft over

CM' = (1/2)CM

h is dus inderdaad een homothetie met C als centrum en k=1/2 als factor!

cl
20-9-2004