WisFaq!

Afgeleide van exponentiële functie

Help ik zit vast met het bewijs van de afgeleide van een exponentiële functie!

D f(x)=a tot de xste
D f(x)= lim h®0 (f(x+h)-f(x))/h
D f(x)= lim h®0 (a tot de (x+h) - a tot de (x))/h

... ???


D f(x) = ln a ´a tot de x


P.S. ln a = log a / log e

senne
16-9-2004

Antwoord

Stel f(x) = a^x.

Dan is
f'(x) = lim_h®0(a^x+h-a^x)/h
= lim_h®0a^x·(a^h-1)/h
= a^x·lim_h®0(a^h-1)/h

Dit laatste stuk (lim_h®0(a^h-1)/h) is een constante (dus onafhankelijk van x). We moeten nu alleen nog laten zien dat het gelijk is aan ln a

Er is er een waarde voor a te kiezen zodat lim_h®0(a^h-1)/h = 1. Deze waarde van a noemen we e (het getal van Euler). Probeer maar eens voor kleine waarden van h.

We weten dus nu dat voor f(x) = e^x geldt dat f'(x) = e^x.

Dit gaan we gebruiken voor willekeurige grondtallen.

Stel f(x)=a^x.
Je kunt a schrijven als e^{elog a} ofwel e^{ln a}.
f(x) is dus te schrijven als (e^{ln a})^x ofwel e^{x·ln a}.
Gebruik nu de kettingregel om te laten zien dat
f'(x) = ln a·a^x

wh
5-10-2004