WisFaq!

Bewijs met middelwaardestelling

hoi ik heb een vraag:
hoe los ik de som
toon de volgende beweringen met de middelwaardestelling aan:
1) voor 0x0,5p geldt tan(x)x
2) voor x0 geldt arctan(2x)-arctan(x)x/(1+x²)

hopelijk kunnen jullie me helpen, want ik kom er echt niet uit.
Alvast bedankt
Linda Pennings

Linda Pennings
12-9-2004

Antwoord

Middelwaardestelling:
Als f(t) afleidbaar is in [a,b], dan zit er in ]a,b[ minstens 1 punt p waarvoor f'(p) = [f(b)-f(a)]/[b-a]

1) Stel a=0 en b=x e, f(t)=tan(t). Dan zit er in het interval ]0,x[ steeds een p waarvoor

1/cos²(p) = [tan(x)-0]/[x-0]

Aangezien p in ]0,x[ zit, ligt p ook zeker in ]0,p/2[ en steunend op de eigenschappen van de cos-functie is het linkerlid dan zeker groter dan 1, dus ook het rechterlid

tan(x)/x 1
tan(x) x (geen wisseling van ongelijkheidsteken aangezien x0)

Probeer je de tweede oefening nu zelf eens?

cl
13-9-2004