WisFaq!

Hyperbool en kegelsnede

Hallo,
ik heb twee vragen over een hyperbool en over een kegelsnede.
vraag 1.
ik heb een hyperbool met als top (2,0)en (-2,0), de asymptoten zijn de lijnen 3x + 4y = 0 en 3x - 4y = 0
volgens mij zijn dan de coordinaten van F (0;2,5) en
(0;2,5) en de vergelijking is dan
x²/4 - y²/2,25 = 1
nu is mijn vraag : Bewijs dat voor elk punt P op deze hyperbool het product van de afstanden van P tot de beide asymptoten constant is.

vraag 2
Ik heb een kegelsnede met vergelijking
x²/4 - y²/16 =1

a. Nu moet ik een vergelijking van het beeld van de Kegelsnede berekenen na spiegeling in de lijn y=4 gevolgd door de rotatie om (2,3) over 60 graden.
b. en ik moet een vergelijking berekenen van het beeld van K na rotatie om (2,0) over 90 graden gevolgd door de vermenigvuldiging vanuit (2,0) met factor 5

Bij voorbaat dank

IH

Ina Harbers
10-9-2004

Antwoord

Eerst maar de eerste vraag.
De hyperboolvergelijking is m.i. correct.
Neem daar nu een willekeurig punt (x,y) op.
De afstanden tot de respectievelijke lijnen worden dan gegeven door |3x+4y|/5 en |3x-4y|/5, zodat het product gelijk is |9x² - 16y²|/25.
Omdat (x,y) op de hyperbool ligt, geldt 9x² = 16y²+36 (dit is een kwestie van de hyperboolvergelijking herschrijven).
Als je in de uitdrukking voor het product van de afstanden de term 9x² vervangt door 16y²+36, dan zie je dat er een vast getal uitkomt.

De tweede vraag gaat (denk ik) met behulp van matrices, maar ik weet niet of dit past binnen hetgeen je op dit moment bestudeerd hebt. Ik zou in elk geval een tekening maken om te zien of er misschien opvallende dingen te zien zijn.

MBL
11-9-2004