WisFaq!

Verloop van functies

vb: f(x)= √(8x²-x⁴)

oplossing:(mijn pogingen)

1) dom f= ]-2√2, 2√2[
2) Ç x-as: x=0, x=2√2, x=-2√2
Ç y-as: y=0
3)symmetrie
even want f(x)=f(-x)

4)ASYMPTOTEN
VA: geen want geen noemer

maar dan:

HA: lim ±$\infty$ f(x)= x√(8-x²)= niet gedefineerd in R? en dus geen HA

SA: lim f(x)/x=lim √(8-x²)= opnieuw nt gedef in R? En dus geen SA?

MAAR als je dan de grafiek bekijkt van deze functie blijkt dit helemaal niet te kloppen?

5) continuïteit
f is continu in dom

6)eerste afgeleide
f'(x)= [2x(4-x²)]/[|x|/√(8-x²)]
f'(x) dus niet afleidbaar in 0. Er blijkt dan een linkerafgeleide en een rechterafgeleide te zijn als je de lim x-$>$0 ($<$ en $>$) f'(x) neemt = ±2√2 en zo zelfs de hoek kan bepalen die de raaklijn maakt met de x-as.

dom f'= ]-2√2,0[È]0,2√2[
nulpunten f': x=0, x=2 en x=-2

7) tweede afgeleide
Deze zou in feite zinloos zijn maar hoe kan je zonder deze tweede afgeleide de extrema bepalen? En de buigpunten?

Ik hoop dat dit een beetje klopt maar met de vetgedrukte zaken heb ik steeds terugkomend problemen...
Zou iemand zo goed willen zijn me hierbij verder te willen helpen?

Dank bij voorbaat...

Sabine
8-9-2004

Antwoord

Dag Sabine

Eerst het domein : de twee grenspunten zijn inbegrepen, dus moet je gesloten haken [...] gebruiken voor het domein van f.

Er is inderdaad geen HA of SA. Een grafiek nadert naar een HA of SA als x nadert naar +$\infty$of -$\infty$. Vermits de functie niet bestaat in +$\infty$ of -$\infty$, zijn er dus ook geen asymptoten. Dit blijkt trouwens ook uit de grafiek (zie onder).

De tweede afgeleide is inderdaad niet nodig. Om de extrema te bepalen onderzoek je het teken van de eerste afgeleide.
Tussen -2√2 en -2 is f' positief en tussen -2 en 0 is f' negatief, dus voor x = -2 wordt een maximum bereikt. Idem voor x = 2.
Nog een opmerking i.v.m. de eerste afgeleide. Voor x = 0 bestaat de afgeleide niet (je kan wel de linker- en rechterlimiet berekenen). Dus x=0 is geen echt nulpunt van de eerste afgeleide.
Tenslotte de buigpunten. Je hebt de raaklijnen bepaald links en rechts van 0. Je kunt nagaan dat in de buurt van 0 de functie onder deze raaklijnen ligt. Hieruit kun je afleiden dat er geen buigpunten zijn.

LL
8-9-2004