WisFaq!

Limiet van exponentiele functies

hallo, ik begrijp totaal niet hoe je een limiet van een exponentiele functie oplost. en kan je dat niet ook met de formule van het getal e of zoiets?

kunnen jullie mij mss met volgende oef helpen, met wat uitleg erbij.want ik weet niet eens hoe ik er aan moet beginnen.

lim (x nadert tot $\infty$) (1-2/x) =

andere oef :

lim (x nadert tot $\infty$) (x/x+3)²+1

alvast bedankt op voorhand

randy
7-9-2004

Antwoord

Hallo Randy,

Ik denk dat je niet helemaal de juiste opgaves hebt doorgegeven, dit zijn immers geen exponentiële functies. In deze oefeningen kan je gewoon x=$\infty$ invullen, en dan komen de limieten uit op 1-0=1 en 1+1=2.

Dus ik vermoed dat die eerste opgave bijvoorbeeld zo moest zijn:
lim (1 - 2/x)^x

In zo'n geval moet je altijd proberen iets van de vorm (1 + 1/t)^t erin te krijgen.

lim (1 - 2/x)^x voor x naar $\infty$
= lim (1 - 1/(x/2))^(x/2)·2 voor x naar $\infty$
= lim (1 - 1/t)^t·2 voor t naar $\infty$
= lim (1 + 1/(-t))^(-t)·(-2) voor t naar $\infty$
= e^-2

Bemerk dat ik hier gebruik dat de limiet van (1 + 1/x)^x voor x naar -$\infty$ ook e is... Ik hoop dat je dat gezien hebt, anders zal je dat moeten bewijzen als volgt:

e = lim (1 + 1/x)^x voor x naar plus oneindig
= lim {(1 + 1/x)^-1}^-x voor x naar plus oneindig
= lim (1 - 1/x + hogereordetermen)^-x voor x naar plus oneindig (reeksontwikkeling is dat)
= lim (1 - 1/x)^-x voor x naar plus oneindig
= lim (1 + 1/t)^t voor t naar min oneindig

Nu, voor die tweede oefening zal je hetzelfde principe moeten proberen toepassen: er op één of andere manier de uitdrukking voor e in krijgen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
7-9-2004