WisFaq!

Eenzelfde raaklijn aan twee krommen

Bepaal de vergelijking van de rechte/rechten die tegelijk raakt/raken aan de krommen met de vgl. y=x² en y=-x²+3x-2

Ik voerde eerst het volgende uit: Een willekeurig punt nemen op de eerste parabool. In dat punt de raaklijn zoeken aan de parabool. Een snijpunt trachten te vinden van deze raaklijn met de tweede parabool.

M.a.w.:

Willekeurig punt a op parabool1
Op zoek naar de raaklijn, dus eerst de afgeleide zoeken:
f'(a)=2a
vgl van de raaklijn:
T - y-f(a)=f'(a)(x-a)
T - y=2ax-a²

Deze rechte zou dus een snijpunt moeten hebben met de parabool maar hoe kan je dat vinden met deze onbekende?

Kunnen jullie me hiermee verder helpen?
Dank bij voorbaat...

Sabine
6-9-2004

Antwoord

Je begint goed. De beste start is inderdaad het bekijken van de afgeleide(n).
De lijn met vergelijking y = 2ax - a² moet nu raken aan parabool2.
Dus geldt voor het raakpunt aldaar (je schrijft dat zelf ook, 'snijden'):
2ax - a² = -x² + 3x - 2
Dit geeft
x² + (2a - 3)x - a² + 2 = 0
En die vergelijking heeft vanwege de raking twee gelijke x-en. Dus:
D = 0
En dan volgt hieruit de a (twee?) en dus ook de gezochte vergelijking(en)...

dk
6-9-2004