WisFaq!

Meetkundige en reken-meetkundige reeksen

Voor mijn thesis zijn ik enkele partieelsommen moeten opgelost krijgen, Zou er iemand mij kunnen helpen aub, ik zit hopeloos te klungelen!

1) de sommatie met n=1 tot oneindig van 1/2ⁿ
2) de sommatie met n=1 tot oneindig van (n-1)/2ⁿ
3) de sommatie met n=1 tot oneindig van Ö(2^n-1)/2ⁿ

Heel hartelijk bedankt!

Bie
1-9-2004

Antwoord

1) en 3) zijn meetkundige reeksen.
De som van een oneindige meetkundige rij a,ar,ar²,ar³.... is
a/(1-r). (mits |r|1)
Dat kun je op de volgende manier inzien:

     s=a+ar+ar2+ar3
    rs=  ar+ar2+ar3+ar4
-------------------------- -
(1-r)s=a+0+0+......... 

Dus (1-r)s=a, dus s=a/(1-r)

Bij 1) is a=1/2 en r=1/2.
Bij 3) zijn de eerste 3 termen:

1/2
Ö2/2²=1/2*(1/Ö2)
Ö2²/2³=2/2³=1/2*(1/Ö2)²

dus a=... en r=...

2)is een reken-meetkundige reeks: s=0+1/4+2/8+3/16+4/32+......

Bekijk nu s-1/2s:
     s=0+1/4+2/8+3/16+4/32+......
  1/2s=   0 +1/8+2/16+3/32+4/64+...
-----------------------------------  -
s-1/2s=0+1/4+1/8+1/16+1/32+........... 

Dus ¹/₂s=1/4+1/8+1/16+...
en dit is weer de som van een meetkundige rij met a=1/4 en r=1/2.
Dus ¹/₂s=1/4*(1-1/2)=1/2, dus s=1

In het algemeen kun je de som van een rekenmeetkundige rij herleiden tot de som van een meetkundige rij door s-rs handig te combineren, zoals hierboven is gedaan voor r=¹/₂.

Zie ook dit(engels) formularium.
(arithmetic: rekenkundig
geometric: meetkundig
arithmetic-geometric: reken-meetkundig)

hk
2-9-2004