WisFaq!

Wat voor soort getal is x met x^x=10

Ik zit met een lastige vraag over een getal die ik 'X' noem voor het gemak. Waarom? Nou, stel dat X^X=10 (of X^X=5 kan ook). Dit getal kun je niet schrijven als breuk, en het is ook geen geheel getal. Dus X hoort tot de getallenverzameling $\mathbf{R}$, goed tot zover is mij dat duidelijk. Maar wat voor soort getal van GV $\mathbf{R}$ is dat? Is X nou een TRANSCEDENT getal of een ALGEBRAÏS (worteltrek)getal of geen van beiden, maar wat is het dan? Kijk ik kan X schrijven als X√10=X, want X^X =10, wortelgetal, maar ik kan X ook schrijven als Xlog10=X, loggetal, dus transcedent. Dus wat voor getal is X hier, transcedent of wortel, of geen van beiden? Indien geen van beiden, wat dan?

j.sneller
31-8-2004

Antwoord

Hallo,

Elk reëel (of complex) getal is ofwel transcendent, ofwel algebraïsch. Algebraïsche getallen zijn de volgende:
- Nulpunten ('wortels') van een veelterm met gehele coëfficiënten
- Nulpunten van een veelterm met algebraïsche coëfficiënten uit het eerste geval.

Hieruit volgt dat, als je X kan schrijven als een gehele machtswortel uit een geheel of rationaal getal, dat X dan zeker een algebraïsch getal is.

Je redenering dat X algebraïsch is omdat X = de X'de machtswortel uit 10, is dus niet correct, juist omdat je niet werkt met een gehele machtswortel. Om dezelfde reden is de redenering dat X transcendent is, niet correct: ook hier moet het grondtal van de logaritme geheel zijn.

Het is niet eenvoudig om van een getal te bewijzen dat het transcendent is: enkel het feit dat je niet meteen kan zien van welke veelterm het getal een nulpunt is, garandeert NIET dat het getal transcendent is.

In de tabel op deze site zie je enkele voorbeelden van transcendente getallen, merk op dat er heel wat vrij recent gevonden zijn. Het is overigens wel zo dat er meer transcendente dan algebraïsche getallen zijn, alleen zijn ze zo moeilijk te vinden. Of de X uit de vraag transcendent is, heb ik nergens kunnen vinden. Ik vermoed van wel, maar bewijs het maar eens natuurlijk...

Groeten,
Christophe.

Christophe
1-9-2004