WisFaq!

Substitutiemethode integreren: ln(x)/x

Ik heb nog een vraag n.a.v. de uitleg van de substitutiemethode van het integreren.

Bij de integraal $\int{}$lnx/x dx = $\int{}$ln(x).1/x = $\int{}$ln(x)d(ln(x))=$\int{}$tdt=1/2t² + C = ¹/₂ (ln(x))²

Hier wordt voor T, ln x genomen, maar voor mijn gevoel gebeurt er dan alleen maar wat met 1 term i.p.v. 2 termen.

ook bij
$\int{}$sin(x).cos(x)dx = $\int{}$sin(x)d(sin(x)) = ... enz
hier wordt voor t sin x gebruikt...

Is dat altijd zo dat er maar 1 term g(x) =t gesteld?

Heel erg bedankt alvast..
Groetjes karin

karin
28-8-2004

Antwoord

Stel je hebt een functie f.
Voor een primitieve F van f moet gelden F'(x)=f(x).
Dit gaan we eens controleren voor f(x)=ln(x)/x met F(x)=¹/₂ln²(x).
We moeten nu dus F(x)=¹/₂ln²(x) differentieren.
Dit moet je doen met de kettingregel voor differentieren.
We krijgen dus: F'(x)=¹/₂×2ln(x)×de afgeleide van ln(x)=
¹/₂×2ln(x)×1/x=ln(x)/x en dat klopt.

Nemen we f(x)=sin(x)×cos(x) en F(x)=¹/₂sin²(x) en gaan we controleren, dan krijgen we:
F'(x)=¹/₂×2sin(x)×de afgeleide van sinx=
¹/₂×2sin(x)×cos(x)=sin(x)cos(x) en dat klopt.

Die substitutieregel bewandelt precies de ongekeerde stapjes om een primitieve te vinden en berust dus op het omkeren van de kettingregel voor differentieren.
Vandaar.

hk
28-8-2004