Wat je goed moet realiseren is dat m gewoon een getalletje is en dat 4m dus ook een gewoon getalletje is. En de afgeleide van een constante is 0.
Verder is het belangrijk dat je de quotiëntregel goed kunt toepassen, namelijk (t(x)/n(x))' = n(x)·(t(x))' - t(x)·(n(x))'/(n(x))2.
Dus f'(x) = (x2+4m)(x2-16)' - (x2-16)(x2+4m)'/(x2+4m)2
f'(x) = (x2+4m)(2x)-(x2-16)(2x)/(x2+4m)2
f'(x) = 2x3 + 8xm - 2x3 + 32x/(x2+4m)2
f'(x) = 8x(4+m)/(x2+4m)2.
Dus f''(x) = 8·(x2+4m)2·(4+m)-[x(4+m)·4x(x2+4m)]/(x2+4m)2
Het is misschien moeilijk voor je om [(x2+4m)2]' te bepalen, dat doe je m.b.v. de kettingregel 't gemakkelijkst, kies u(x) = x2+4m en y(u) = u2, dan is u'(x) = 2x en y'(u) = 2u = 2(x2+4m) en is u'(x)·y'(u) = 4x(x2+4m).
f''(x) = 8·(x2+4m)(4+m)(-3x2+4m)/(x2+4m)2.
We weten dat er een buigpunt is voor f''(2) = 0 dus in f''(x) vervang je de x door 2 en dit stel je gelijk aan 0, dus f''(2) = (4+4m)(4+m)(-12+4m)/(4+4m)2.
Dit moet gelijk zijn aan 0, dus komt het neer op (4+4m)(4+m)(-12+4m) = 0 oplossen... MAAR de noemer wordt 0 als 4+4m = 0 en dit is ook een factor in de teller, dus m = -1 vervalt. Blijven m = -4 en m = 3 over. Toch is m = -4 geen optie want vul dat maar eens in de oorspronkelijke functie in, dan krijg je f(x)=1 (niet in x = ±4), en die functie vertoont geen buigpunten. Dus blijft m = 3 over.
Krijg je als oorspronkelijke functie f(x) = x2-16/x2+12.
Dan wordt f''(x) = -168· x2-4/(x2+12)3.
f''(2) is 0 en om er zeker van te zijn dat er een buigpunt is moet er een tekenwisseling plaatsvinden, dus f''(1,99)
0,001648827996 en f''(2,01) -0,001632422003.Er vindt dus een tekenwisseling plaats, en is er in het punt (2,-3/4) een buigpunt.
Davy
24-8-2004