WisFaq!

Oneven aantal stellingen op dambord

Op een 10x10 dambord worden maar 50 velden gebruikt. Een schijf kan op 45 velden staan, een dam op alle 50.
Met w witte schijven, W witte dammen, z zwarte schijven en Z zwarte dammen zijn er N verschillende stellingen mogelijk. Is er een slimme manier om te bepalen of N even of oneven is?

siep korteling
23-8-2004

Antwoord

dag Siep,

Ik weet niet of mijn manier slim genoeg is, maar je zou het als volgt kunnen aanpakken.
Neem een stelling S.
Draai deze stelling 180° en verwissel de kleuren wit en zwart.
Het resultaat is weer een toegelaten stelling S'.
Nu zal in een aantal gevallen het resultaat dezelfde stelling opleveren als waar je mee begon.
Dit noem ik symmetrische stellingen.
Het aantal niet-symmetrische stellingen is in ieder geval even (bij elke stelling S hoort precies een andere stelling S')
Nu de symmetrische stellingen.
Ik onderscheid twee soorten:

type I: geen enkele schijf op de eigen startlijn.
type II: een of meer enkele schijven op de eigen startlijn.

De stellingen van type I kan ik weer paarsgewijs in elkaar laten overgaan door de kleuren wit en zwart te verwisselen. Dit is dus weer een even aantal.
Bij de stellingen van type II wissel ik ook de kleuren wit en zwart, behalve die op de eigen startlijn.
Hiermee zijn ook deze stellingen paarsgewijs aan elkaar gekoppeld.
De enige situaties waarbij dit geen nieuwe stelling oplevert, zijn de situaties waarbij er alleen maar enkele schijven op de eigen startlijn staan.
Deze situatie treedt alleen op als W=0 en Z=0 en w=z5
Dit aantal kunnen we tellen.
Als w = z = 0 (lege stelling, telt die ook mee?) dan is het aantal oneven.
Als w = z = 1 of 4, dan is het aantal 5, dus ook oneven
Als w = z = 2 of 3, dan is het aantal 10, dus even
In alle andere gevallen is het aantal dus even.
Ik hoop dat ik geen sitaties over het hoofd heb gezien.
groet,

Anneke
28-8-2004