WisFaq!

Absolute waarde

ik weet niet hoe ik absolute waarde tekens moet weg werken

de opgave is |x²-9|en de vraag is onderzoek waar deze functie niet afleidbaar is en dat moet je dus doen met behulp van limietberekeningen maar ik weet niet hoe ik die absolute waardetekens weg moet krijgen

frederik
22-8-2004

Antwoord

Beste Frederik,

De functie luidt f(x) = |x² - 9|. Die absolute waarde strepen zorgen ervoor dat de functiewaarden groter of gelijk aan 0 zijn. Dus ongeacht welke waarde x² - 9 aanneemt, de uiteindelijke functiewaarde is positief (of 0), dus indien x² - 9 $>$ 0 dan is |x² - 9| $>$ 0, indien x² - 9 = 0, dan is |x² - 9| = 0, en indien x² - 9 $<$ 0 dan geldt ook dat |x² - 9| $>$ 0. Dus bij x² - 9 $\geq$ 0 verandert |x²-9| niet, dus daar geldt gewoon dezelfde functie (met oplossinginterval). Bij x² - 9 $<$ 0 wordt de functiewaarde -(x² - 9) want x² - 9 is negatief, dus -(negatief) = positief, en dat doen die absoluutstrepen!

Wanneer is x² - 9 = 0 $\Leftrightarrow$ x = ±3. Dus f(-3) = f(3) = 0.

Wanneer is x² - 9 $>$ 0 $\Leftrightarrow$ x² $>$ 9, dus x $\in$ ]-$\infty$,-3[ È ]3,+$\infty$[. Dus op die intervallen geldt dat de functie g(x) = x² - 9 is. (Mocht je x² $>$ 9 moeilijk vinden om op te lossen, teken dan eens de standaard dalparabool y=x² en de horizontale lijn y=9 de x-waarden van de dalparabool boven die lijn voldoen!). Maar aangezien g(-3) = g(3) = 0 geldt dat op de intervallen ]-$\infty$,-3] È [3,+$\infty$[ de functie g(x) = x² - 9 is.

Maar hoe gedraagt de functie zich tussen [-3,3] ? Laten we x² - 9 $<$ 0 eens bepalen, dus x² $<$ 9 en laat dat nou net ]-3,3[ zijn, dus de absoluutstrepen zorgen ervoor dat de negatieve functie positief wordt, dus h(x) = -(x² - 9) = -x² + 9 en omdat h(-3) = h(3) = 0 kun je net zo goed het interval [-3,3] beschouwen (maar -3 en 3 behoren niet tot de oplossing x² - 9 $<$ 0 dat moge duidelijk zijn, maar in 't interval [-3,3] gedraagt de functie f(x)=|x²-9| zich wel als h(x)=-x² + 9).

Nu weet je precies hoe de functie verloopt. Het opstellen van de afgeleiden in de intervallen ]-$\infty$,-3] , [-3,3] , [3,+$\infty$[ zal wel geen problemen opleveren.

Wanneer bestaat de afgeleide in een punt niet? Als de linker- en rechterafgeleide een verschillende waarde hebben. Waar zou dat in de functie f(x) het geval kunnen zijn? Let eens op de knikjes, meer zeg ik niet.

Davy
22-8-2004