WisFaq!

Ongelijkheid

Hallo ,
Kennelijk doe ik iets verkeerd.
Sin ( x/2 +p/4) Ö2 / 2

en ik bekom dit als opl :
k4p x p + k4p

Maar als ik een paar waarde invoer die hiertussen gelegen zijn , zijn ze groter dan Ö2 / 2 en het moet kleiner zijn.

Dirk
21-8-2004

Antwoord

Beste Dirk,

Maak een plaatje van de situatie dat verduidelijkt de zaak.

We gaan eerst de periode bepalen van sin(¹/₂x + ¹/₄p).
Daartoe bepalen we eerst het snijpunt met de x-as vlakbij de 0 (in het negatieve gedeelte). Je weet dat sin(0 + 2kp) = 0 en dat sin(p + 2kp) = 0, oftewel gecombineerd (want bij sin(2p) wordt de sinus van even veelvouden van p genomen, en bij sin(p(1 + 2k)) wordt de sinus van oneven veelvouden van p genomen, dus de verzameling van even én oneven veelvouden van p oftewel alle veelvouden van p) sin(kp) = 0.

Hier dus ¹/₂x + ¹/₄p = kp Û ¹/₂x = p(k - ¹/₄) Û x = 2p(k - ¹/₄) Þ x = 2kp - ¹/₂p.

Neem k = 0, dan krijg je x = -¹/₂p. Het volgende snijpunt met de x-as is x = 1¹/₂p (vul k = 1 in). Het dan volgende snijpunt is x = 3¹/₂p. Dan is de grafiek één periode verder (heeft één volledige golfbeweging gemaakt), dus de periode is ¹/₂p + 3¹/₂p = 4p. (Dit had je ook anders kunnen oplossen, namelijk sin(¹/₂x + ¹/₄p) is de grafiek sin(¹/₂x) maar dan ¹/₄p naar links verschoven, dit verandert echter niks aan de periode. De periode van sin(bx) bereken je door ^2p/b te bepalen, dus de periode van sin(¹/₂x) is ^2p/¹/₂ = 4p. Dus ook de periode van sin(¹/₂x + ¹/₄p) is 4p).

Waarom heb ik eerst de periode bepaald? Omdat de sinusfunctie oneindig veel golfbewegingen heeft, en bijgevolg ook oneindig veel intervallen heeft die voldoen aan de oplossing. Als je de lengte van het interval van zo'n slinger weet, én je weet één oplossingsinterval dan zijn de andere oplossingsintervallen een veelvoud van de periode (hier dus 4p) van elkaar verwijderd.

Nu kun je eigenlijk twee dingen doen: zeggen welke x'en er gekozen mogen worden óf zeggen dat alles kozen mag worden (dus x Î ) met uitzondering van die x'en waarvoor geldt dat sin(¹/₂x + ¹/₄p) ¹/₂Ö2.

Ik kies voor het laatste. Want wanneer is sin(¹/₂x + ¹/₄p) = ¹/₂Ö2? Laten we eerst sin(x) = ¹/₂Ö2 oplossen, dus x = arcsin(¹/₂Ö2) Þ x = ¹/₄p maar je weet dat sin(b) = sin(p - b), dus x = ³/₄p levert ook ¹/₂Ö2 op. Maar er mogen ook veelvouden van 2p worden opgeteld, dus x = ¹/₄p + 2kp en x = ³/₄p + 2kp zijn de oplossingen. Maar we moesten sin(¹/₂x + ¹/₄p) = ¹/₂Ö2 oplossen, dus

¹/₂x + ¹/₄p = ¹/₄p + 2kp Û ¹/₂x = 2kp Û x = 4kp (I).

En ¹/₂x + ¹/₄p = ³/₄p + 2kp Û ¹/₂x = ¹/₂p + 2kp Û x = p + 4kp (II).

Laten we het interval [-¹/₂p,3¹/₂p] beschouwen. Het eerste snijpunt van de grafieken krijgen we door in (I) k = 0 te kiezen, oftwel x = 0. Het tweede snijpunt krijgen we door in (II) k = 0 te kiezen, dus x = p. De andere snijpunten liggen op een veelvoud van de periode 4p van elkaar verwijderd, dus x = 0 + 4kp verenigd met x = p + 4kp is de oplossingsverzameling van de snijpunten. Je kunt aan de grafiek zien dat tussen de snijpunten de groene grafiek groter is dan ¹/₂Ö2, dus op de intervallenverzameling [4kp,p+4kp] is de groene grafiek groter of gelijk aan ¹/₂Ö2.

Met andere woorden de oplossingsverzameling van sin(¹/₂x + ¹/₄p) ¹/₂Ö2 is \{[4kp,p+4kp]} waarbij k Î .

Of als je het graag op de andere manier zou willen, x Î {[-¹/₂p + 4kp,4kp[ È ]p + 4kp,4p + 4kp[}.

Davy
21-8-2004