WisFaq!

Vraagstuk oplossen mbv matrices

Hallo,

Eerst even een voorbeeld, zodat er begrepen wordt wat ik bedoel.

Ik wil graag 3 gassen samenvoegen:
Gas 1 bestaat uit: 80% N2, 10% CO2, 10% H2
Gas 2 bestaat uit: 100% CO2
Gas 3 bestaat uit: 100% N2

Ik wil bijvoorbeeld naar een eindresultaat gas bestaande uit:
82% N2, 15% CO2,3% H2 (moet samen 100% zijn!)

Is hiervoor een formule met 3 onbekenden of is dit op te lossen door middel van matrices, of is er een andere manier om dit te oplossen??
Ik hoop dat iemand mij hiermee kan helpen.

Mvg,

Peter

Peter Elferink
12-8-2004

Antwoord

De vraag is eigenlijk:
Stel je begint met 1 liter Gas1 hoeveel liter Gas2 en Gas3 moet ik dan toevoegen.
Hieruit blijkt dat een stelsel met 2 variabelen voldoet.
Noem het aantal liters Gas2: a en het aantal liters van Gas3:b.
Dan heb je in totaal 1+a+b liter. Hiervan zijn 0.8+b liter N2, dus moet
0.8+b=0.82(1+a+b), dus 0.82a-0.18b=-0.02
Op dezelfde manier (CO2)
0.1+a=0.15(1+a+b), dus 0.85a-0.15b=0.05
en (H2)
0.1=0.03(1+a+b), dus 0.03a+0.03b=0.07

We hebben dan het stelsel:
0.82a-0.18b=-0.02
0.85a-0.15b=0.05
0.03a+0.03b=0.07

Wanneer je de twee onderste regels van elkaar aftrekt krijg je de eerste regel, dus je houdt over:

0.85a-0.15b=0.05
0.03a+0.03b=0.07
oftewel:
17a-3b=1
3a+3b=7

Uit de bovenste regel volgt: 3b=17a-1
Invullen in de onderste regel levert
3a+17a-1=7 20a=8 a=8/20=0.4 (liter)
Dus 3b=17*0.4-1=5.8 dus b=5.8/3=1.9333 (liter)

Kennelijk moet je de gassen dus mengen in de verhouding
1:0.4:1.9333=15:6:29

Een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden kun je ook met matrices oplossen.
Je hebt dan in dit geval de matrix
(0.85 -0.15 0.05)
(0.03 0.03 0.07)
Deze kun je in de gereduceerde rijvorm brengen.
Als je de beschikking heb over een TI83 gaat dat met de opdracht rref.
In de derde kolom vind je dan je oplossing.

hk
12-8-2004