WisFaq!

Rij van originelen en beeldrij / Continuiteit

Hoi allen,
hoe ga je te werk bij zo een oefening :

onderzoek met een rij van originelen en de beeldrij of de volgende functies continu zijn in het aangegeven punt.
Wat een wartaal.

de functie is blijkbaar met een dubbel voorschrift

f(x)= |x| / x als X niet gelijk is aan 0
f(x)= 0 als X gelijk is aan 0

dit is de functie en het te onderzoeken punt is 0.
Volgens men intuitie is het niet continu maar ja , daarmee heb ik nog niet aangetoond met een beeldrij en met een rij van originelen( leg dat ook eens uit want ik heb er zo nog een paar te maken)

Merci op voorhand

Dirk
5-8-2004

Antwoord

Hallo Dirk,

De truc is dat je als het ware de grafiek afgaat via een rij van punten op de grafiek. Die rij heeft een limiet, en je moet kijken of dat limietpunt ook een punt is van je grafiek. Een voorbeeld maakt dat iets duidelijker:

Bekijk de functie f(x)=x²+1.
Kies de rij 1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,...
Die convergeert naar 0.
Wat is het beeld van die rij? Wel, voor elk element van de rij bereken je x²+1.
Dat wordt dus 2,5/4,17/16,65/64,257/256,1025/1024,...
Die convergeert naar 1.
Nu is het punt (0,1) een punt van de grafiek.

Dit geldt voor elke rij die nadert naar 0: als je van elke term uit zo een rij het beeld bepaalt, dus x²+1, dan kom je een nieuwe rij uit, en die zal altijd convergeren naar 1. Daaruit kan je besluiten dat x²+1 continu is in het punt x=0.

Wat jouw opgave betreft: bekijk die zelfde rij 1,1/2,1/4,... die naar 0 convergeert. Het beeld van deze rij is 1,1,1,1,... wat duidelijk naar 1 convergeert. Echter, f(0)=0, en dus niet 1. Vanaf dat je zo een rij vindt, kan je besluiten dat de functie niet continu is in (hier) het punt x=0.

Dus kort gezegd:
Als f(limiet v/e rij) ¹ limiet(f(die rij))
Dan is f discontinu in dat punt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-8-2004