WisFaq!

Re: Rationale getallen

Hallo Christophe,

Ik begrijp niet goed wat je bedoelt met

"Ontwikkel daarvoor de determinant in de teller, volgens de eerste rij"

Welke eerste rij bedoel je, en wat zijn deze twee termen?


Voor de tweede vraag heb ik een stelling en bewijs gevonden die lijken op deze vraag nl.:

Stelling(Hurwitz)
i)Bij elk irrationaal getal a bestaan oneindig veel verschillende rationale getallen p/q met |a-(p/q)| 1/[sqrt5*(q^2)]
ii)Bewering a) wordt onjuist als sqrt5 door een groter getal vervangen wordt.
BEWIJS
i)Er zijn oneindig veel convergenten, dus oneindig veel disjuncte drietallen convergenten. De bewering volgt nu uit stelling 1.(zie onderaan bewijs)
ii)Neem a=(1/2)+(1/2)sqrt5, dan is a=[1,1,1,...]. Voor de convergenten {p_n/q_n} van a geldt dat p_-1=q_0=0, p_0=q_1=1 en dan met inductie naar n, p_n=p_n-1+p_n-2=q_n+q_n-1=q_n+1.(dit staan niet uitgewerkt en ik begrijp niet hoe je dit met inductie bewijzen moet).
Dus p_n=q_n+1 voor n=-1,0,1,2,...Zij epsilon=e zo dat e0.
Als

(1) |a-p/q| 1/[(sqrt(5)+e)q^2], dan is

|a-p/q| 1/2q^2, en volgens stel.2 (zien onderaan) is p/q dan een convergent van a.

Het is dus voor ii) voldoende om aan te tonen dat voor elke keuze van e er een N is zo dat

|a-p_n/q_n| = 1/[(sqrt(5)+e)q^2],

voor alle n= N, want dan zijn er kennelijke maar eindig veel convergenten en daarom maar eindig veel breuken met p/q met (1).

Uit stel.3(zie onderaan) volgt nu dat

(2) |a-p_n/q_n|=1/[q_n^2(a+(q_n-1/q_n))]

Nu is lim(n-oneindig)(a+(q_n-1/q_n))=a+lim (q_n-1/p_n-1)=
a+1/a=sqrt5

Dus er is een N zodat a+(q_n-1/q_n) = sqrt(5)+e voor n=N

Vul dit in in (2). Dit geeft

|a-p_n/q_n| = 1/[(sqrt(5)+e)q_n^2] voor n=N.

Einde bewijs.

Stelling1.Zij a een reel getal en n een nat. getal en n=2.Stel p_n-2/q_n-2, p_n-1/q_n-1, p_n/q_n, zijn drie opeenvolgende convergenten van a.Dan voldoet tenminste een van hen aan

|a-p/q| 1/q^2*sqrt5

Stelling2.Zij a een reel getal. Als |a-(p/q)| 1/2q^2, dan is p/q een convergent van a.

Stelling3.Zij a=[a_0,a_1,...,a_k-1,x] met x een reel getal en 1. Dan is

a-p_k/q_k=(-1)^(k-1)/[q_k(xq_k+q_k-1)]

Ik hoop dat je mij nu misschien verder kunt helpen met vraag 2.

Heel veel groeten,

Viky

viky
5-8-2004

Antwoord

Hallo Viky,

Eerst dat van die determinant: volgens die link uit mijn vorige antwoord is de convergent gelijk aan een breuk, met in de teller een determinant en in de noemer een determinant.

De determinant in de teller heeft op de diagonaal steeds n, op de diagonaal daarboven staat telkens -1, op de diagonaal eronder staat telkens 1, elders staat 0. Dus ik zal het bijvoorbeeld eens uitwerken voor een 5*5:

n -1 0 0 0
1 n -1 0 0
0 1 n -1 0
0 0 1 n -1
0 0 0 1 n

In de noemer staat exact hetzelfde, maar dan eentje kleiner, dus bv. geen 5*5 maar dan wel een 4*4.

Ik neem aan dat je weet hoe je zo een determinant moet berekenen, je kan dat bijvoorbeeld volgens de eerste rij doen. Dat bedoelde ik met die ontwikkeling. Dus hier krijg je dan twee termen:
n * det

n	-1	0	0
1	n	-1	0
0	1	n	-1
0	0	1	n

en 1 * det

1	-1	0	0
0	n	-1	0
0	1	n	-1
0	0	1	n

Die tweede determinant kan je dan weer ontwikkelen volgens de eerste kolom. Dat is heel eenvoudig want er staat slechts één element, namelijk een 1. Dat wordt dus:
det

n	-1	0
1	n	-1
0	1	n

Hopelijk zie je daarmee dat de eerste term van de teller gelijk is aan n maal de noemer; en dat de tweede term weer een determinant van diezelfde vorm is, maar dit keer een 3*3. Dus als je dan de eerste term deelt door de noemer, geeft dat n. Als je de tweede term deelt door de noemer, krijg je een 3*3 gedeeld door een 4*4, dus dat is het omgekeerde van de vierde convergent.

Vandaar dus C_m = n + 1/C_m-1.


Dan die Hurwitz. De inductie is juist hetzelfde als wat ik net heb getypt: alleen zit je nu met [1,1,...] ipv [n,n,...]

Dus bekijk eens de n-de convergent: p_n/q_n. Hierin is p_n een n*n-determinant; q_n is een (n-1)*(n-1)-determinant. En al die determinanten hebben dezelfde vorm: 1 op de diagonaal, 1 ook op de diagonaal eronder en -1 op de diagonaal erboven. Dus voor 5*5 bv:
1 -1 0 0 0
1 1 -1 0 0
0 1 1 -1 0
0 0 1 1 -1
0 0 0 1 1

Dat p_n=q_n+1 is dan ook meteen duidelijk. Uit die ontwikkeling zoals in het begin van dit antwoord blijkt (met nu n=1!) dat p_n=1*p_n-1+p_n-2.

En je weet dat p_n-1=q_n en p_n-2=q_n-1 en q_n+1=p_n=p_n-1+p_n-2, dus vandaar ook q_n+1=q_n+q_n-1.


En dan nu die oorspronkelijke tweede vraag: bewijs dat er slechts eindig veel rationale getallen zijn zo dat...

Het bewijs van Hurwitz is eigenlijk een speciaal geval van dit 'te bewijzen', namelijk voor n=1. Op één verschil na: ik vermoed dat de noemer van de te bewijzen ongelijkheid moet zijn:
(Ö(n²+4)+e)q², en niet Ö(n²+4)+eq²

Ik denk dat je het hele bewijs van Hurwitz kan overnemen, maar dan wel her en der een 1 vervangen door een n. Ik ga dus nu eventjes copy-pasten en veranderingen in vet aanbrengen...



"
Stelling(Hurwitz)
i)Bij elk irrationaal getal a bestaan oneindig veel verschillende rationale getallen p/q met |a-(p/q)| 1/[sqrt5*(q^2)]
ii)Bewering a) wordt onjuist als sqrt5 door een groter getal vervangen wordt.
BEWIJS
i)Er zijn oneindig veel convergenten, dus oneindig veel disjuncte drietallen convergenten. De bewering volgt nu uit stelling 1.(zie onderaan bewijs)
ii)Neem a=(n/2)+(1/2)sqrt(n²+4), dan is a=[n,n,n,...]. Voor de convergenten {p_n/q_n} van a geldt dat p_-1=q_0=0, p_0=q_1=1 en dan met inductie naar n, p_n=n*p_n-1+p_n-2=n*q_n+q_n-1=q_n+1.

Dus p_n=q_n+1 voor n=-1,0,1,2,...Zij epsilon=e zo dat e0.
Als

(1) |a-p/q| 1/[(sqrt(n²+4)+e)q^2], dan is

|a-p/q| 1/2q^2, en volgens stel.2 (zien onderaan) is p/q dan een convergent van a.

Het is dus voor ii) voldoende om aan te tonen dat voor elke keuze van e er een N is zo dat

|a-p_n/q_n| = 1/[(sqrt(n²+4)+e)q^2],

voor alle n = N, want dan zijn er kennelijk maar eindig veel convergenten en daarom maar eindig veel breuken met p/q met (1).

Uit stel.3(zie onderaan) volgt nu dat
(Ik denk dat dit nog steeds geldt)
(2) |a-p_n/q_n|=1/[q_n^2(a+(q_n-1/q_n))]

Nu is lim(n-oneindig)(a+(q_n-1/q_n))=a+lim (q_n-1/p_n-1)=
a+1/a=sqrt(n²+4) (Werk maar eens uit, het klopt)

Dus er is een N zodat a+(q_n-1/q_n) = sqrt(n²+4)+e voor n=N

Vul dit in in (2). Dit geeft

|a-p_n/q_n| = 1/[(sqrt(n²+4)+e)q_n^2] voor n=N.

Einde bewijs.
"

En dan zijn we waar we moesten zijn...

Groeten,
Christophe.

Christophe
5-8-2004