WisFaq!

Limiet van recursieve rij

Hallo,

Stel ik heb een recursieve rij met de eigenschappen: a1 =1,an+1=Ö[3·an]
Dan is deze rij monotoom stijgend is. Immers:
a1=1 a2=Ö[3·1]1a1 Voor n=1 klopt het.
Nu voor willekeurige n.
Geldt an+1an?
Ö[3·an]an dus
3·anan² dus
3an
Zolang an[=3] geldt dus an+1an.
De rij is ook naar boven begrensd. a1 en a2 kleiner dan 3. En als an3 dan an+13 immers:
an+13
Ö[3·an]3
[3·an]3²
an3

Nu is er een stelling dat als een rijtje monotoom stijgend is en naar boven begrensd dan heeft dit rijtje een limiet.
Is het voldoende om te bewijzen dat lim{n®¥} an=3
op te merken dat het rijtje m-stijgend is en door 3 begrensd is?

met vriendelijke groet,

Ruben

Ruben
29-7-2004

Antwoord

Hallo Ruben,

Dat is voldoende om te besluiten dat de rij convergeert, maar niet voldoende om te besluiten dat de limiet 3 is: het zou immers ook kunnen dat de rij convergeert naar 2.5, en niet naar 3... Om te bewijzen dat de limiet wel degelijk 3 is, moet je bewijzen dat de rij 'willekeurig dicht' bij 3 komt. Wiskundig uitgedrukt:

"e0 $nÎ: |3-a_n|e

Als aan die voorwaarde voldaan is, en je weet dat de rij monotoon stijgt, en dat de rij begrensd is op 3, dan kan de limiet alleen nog maar 3 zijn.

Nu, hoe bewijs je dat er voor elke e een n bestaat? Dat is nog niet zo eenvoudig... In dit geval lijkt het me zelfs makkelijker om de expliciete rij op te stellen, en niet recursief.

De eerste term is 1 = 3⁰. Dan hebben we Ö(3) = 3^1/2. De volgende term is steeds de vorige term, maal 3, en daarvan de wortel. En vermits al de termen machten van 3 zijn, kan je dat heel eenvoudig doen: je doet de vorige exponent plus 1 (dus de term gaat maal 3), en dan gedeeld door 2 (dat is het worteltrekken).

Dus dit is de rij van exponenten:
0, 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32,...

Die rij heeft duidelijk 1 als limiet, dus de oorspronkelijke rij heeft als limiet 3¹=3.

Met deze redenering heb je niet nodig dat de rij monotoon stijgt, en dat ze begrensd is op 3.

Groeten,
Christophe.

Christophe
29-7-2004