WisFaq!

Bewijzen van een goniometrische uitdrukking

sin⁶a+cos⁶a-2sin⁴a-cos⁴a+sin²a=0

bewijs

ik kom er maar niet aan uit
kun je me helpen

f
20-7-2004

Antwoord

Ik schrijf i.p.v. a x.

(sin(x))⁶ = (sin²(x))³ = (1 - cos²(x))³ want cos²(x) + sin²(x) = 1 dus sin²(x) = 1 - cos²(x).
Dan gaan we de formule (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ gebruiken, dus (1 - cos²(x))³ = 1 - 3cos²(x) + 3cos⁴(x) - cos⁶(x).
Dit vervangen in sin⁶(x) + cos⁶(x) - 2sin⁴(x) - cos⁴(x) + sin²(x) levert
1 - 3cos²(x) + 3cos⁴(x) - cos⁶(x) + cos⁶(x) - 2sin⁴(x) - cos⁴(x) + sin²(x)
Dit laat zich herschrijven tot
1 - 3cos²(x) + 2(cos⁴(x)-sin⁴(x)) + sin²(x)
Die 1 vooraan kunnen we herschrijven als sin²(x) + cos²(x), dus
2sin²(x) - 2cos²(x) + 2(cos⁴(x) - sin⁴(x))
= 2(sin²(x) - cos²(x) + cos⁴(x) - sin⁴(x))
= 2(sin²(x)·(1 - sin²(x)) - cos²(x)·(1 - cos²(x)))
= 2(sin²(x)·cos²(x) - cos²(x)·sin²(x))
= 0

Davy
20-7-2004