WisFaq!

Omliggende driehoek van punt gegeven 2 snijlijnen

- ik weet de coordinaten van 2 rechten AB en CD
- ik weet dat AB en CD elkaar snijden in punt X
- ik weet de coordinaten van een willekeurig punt P
Nu zoek ik een formule om te bepalen binnen welke driehoek/vlak punt P ligt... zonder allemaal losse vergelijkingen te hoeven maken. Dus ik zoek de coordinaten van de driehoek ADX of ACX of CBX of BDX.

Floris
19-7-2004

Antwoord

We gaan uit van de punten A(a₁,a₂), B(b₁,b₂), C(c₁,c₂) en D(d₁,d₂) en punt P(p₁,p₂)
Het snijpunt X(x₁,x₂) van AB en CD kunnen we als volgt berekenen:
m₁=a₂-b₂
m₂=b₁-a₁
n₁=c₂-d₂
n₂=d₁-c₁
i=m₁*a₁+m₂*a₂
j=n₁*c₁+n₂*c₂
det=n₂*m₁-m2*n₁
x₁=(n₂*i-m₂*j)/det en
x₂=(m₁*j-n₁*i)/det

Als we nu aannemen dat X op de lijnstukken AB en CD ligt dan kunnen we als volgt te werk gaan:

We gaan nu een coordinaten transformatie uitvoeren zo, dat punt X in de oorsprong komt te liggen.
De vectoren r=XB en s=XD beschouwen we nu als basis van het vlak. Dan geldt:
r₁=b₁-x₁
r₂=b₂-x₂
s₁=d₁-x₁
s₂=d₂-x₂

We bekijken de vector pa=XP
pa₁=p₁-x₁
pa₂=p₂-x₂


We gaan nu pa schrijven als lineaire combinatie van r en s, dus pa=labda*r+mu*s.
De getallen labda en mu berekenen we als volgt:

det=r₁*s₂-r₂*s₁
labda=(pa₁*s₂-pa₂*s₁)/det
mu=(pa₂*r₁-pa₁*r₂)/det.

Er geldt nu:
Als labda0 dan is B een hoekpunt van de gezochte figuur.
Als labda0 dan is A een hoekpunt van de gezochte figuur.
Als mu0 dan is D een hoekpunt van de gezochte figuur.
Als mu0 dan is C een hoekpunt van de gezochte figuur.


Helaas is het natuurlijk niet zo dat elk willekeurig punt P binnen een van de driehoeken ACX, BCX, ADX of BDX ligt. Het kan zijn dat P buiten vierhoek ACBD ligt.
Dit kunnen we als volgt nagaan:
We berekenen de lengtes van de vectoren XA, XB, XC en XD als volgt
lengtea=Ö((a₁-x₁)^2+(a₂-x₂)^2)
lengteb=Ö(r₁²+r₂²)
lengtec=Ö((c₁-x₁)²+(c₂-x₂)²)
lengted=Ö(s₁²+s₂²)
Als labda0 dan labda=labda*lengteb/lengtea
Als mu0 dan mu=mu*lengted/lengtec.
Als nu |labda|+|mu|1 dan ligt P binnen vierhoek ACBD dus binnen een van de driehoeken ACX, BCX, ADX of BDX.

hk
11-8-2004