WisFaq!

Uitwerken afgeleide van een machtreeks

zij fk(z) = $\sum$(n!/(n-k)!)an(z-z0)(n-k), k een natuurlijk getal, n gaande van 0 naar +oneindig en an een rij en z een complex getal.

Als men in deze formule z=z0 stelt, dan zegt men dat de kde-afgeleide in zo = k!ak.

? $\Rightarrow$ als je in de machtreeks z=z0 stelt, dan wordt dat toch 0 of hoe moet ik dat zien, hoe verloopt de uitwerking ?

Alvast bedankt !

Mvg, Tom

Tom D'Oosterlinck
18-7-2004

Antwoord

Hallo Tom,

Da's een klassieke fout: als je de afgeleide van een functie in een punt wil berekenen, moet je eerst de afgeleide van de functie opstellen, en dan pas de waarde van het punt invullen, en dus niet omgekeerd. Bereken maar eens de afgeleide van de functie x+3 in het punt x=0.

Concreet voor deze vraag: 't is een beetje gokken wat exponenten en wat indices zijn, maar het ziet er een machtsreeks uit.

f_k(z) = å ^n!/_(n-k)! a_n (z-z₀)ⁿ

Merk op dat ik de exponent n-k heb vervangen door n, want anders klopt het niet: dan kan je immers negatieve exponenten krijgen voor (z-z₀), en als je dat afleidt blijft er dan nog steeds een factor (z-z₀) in de noemer, en als je dan z=z₀ invult krijg je oneindig. Ik vermoed dus dat dat een typfout was; het kan ook zijn dat je sommatie pas vanaf n=k mag beginnen lopen.

Dit is een som van oneindig veel termen. Als je dat k keer afleidt, moet je dus elke term k keer afleiden. Nu, als je (z-z₀)^m, k keer moet afleiden, dan zijn er verschillende situaties:

a) mk dan zal de k'de afgeleide nog steeds een factor (z-z₀) bevatten, als je dan nadien z=z₀ invult wordt dit nul. (ter controle: leid x³ eens 2 keer af, dat bevat ook nog steeds een factor x)

b) mk dan wordt de k'de afgeleide nul: leid maar eens x² drie keer af...

c) m=k zal de enige term zijn die overblijft. Als je (z-z₀)^k, k keer afleidt wordt dit k! Dit is een constante, dus het invullen van z₀ doet niet meer ter zake. Welk resultaat krijg je dan?
De term die we moeten afleiden is die waarvoor n=k, dat is dus:
k!/0! a_k (z-z₀)^k

k keer afleiden geeft k! a_k k!

Dat is een factor k! te veel... Ik heb dus ofwel een foute veronderstelling gemaakt met die exponent, ofwel moet die coëfficiënt niet n!/(n-k)! zijn, maar wel C(n,k), dit is n!/(k!(n-k)!)

Ik hoop dat je er zo uit geraakt.

Groeten,
Christophe.

Christophe
26-7-2004