WisFaq!

2 VWO vragen

Ik heb 2 vragen die ik niet kon oplossen.

1)Hoeveel verschillende, niet congruente, parallellogramen met natuurlijke getallen als lengten van de zijden zijn er, waarvan de omtrek gelijk is aan 24?
De oplossing was oneindig veel, maar ik wist echt niet hoe dat zij er aan kwamen.

2)Hoeveel cijfers telt het getal (2.222.222.222)⁴?
A) 36 B) 37 C) 38 D) 39 E) 40

Bedankt voor jullie hulp

Mark
1-7-2004

Antwoord

1) Bij een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang, één paar overstaande zijde heeft lengte a en het andere paar lengte b. Dan moet gelden a+a+b+b = 24 $\Leftrightarrow$ 2(a+b) = 24 $\Leftrightarrow$ a+b = 12. Kies a of b die je van te voren vastlegt, sowieso groter dan 0 én kleiner dan 12 laat de mogelijkheden 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 en 11 over. De andere lengte is dan 11,10,9,8,7,6,5,4,3,2 en 1, maar de lengte van de het ene paar 1 en het andere paar 11 óf de ene 11 en de andere 1 leveren dezelfde parallellogram op... dus de mogelijkheden (a,b) waarbij a de lengte van a en b de lengte van b zijn (1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7) en (6,6). Dus de lengtes liggen eenduidig vast, maar de hoeken niet... waardoor er oneindig veel verschillende parallellogrammen zijn. Verplaats punt A maar eens in onderstaand applet. Ondanks gelijke lengte zijn de parallellogrammen niet congruent, er wordt niet voldaan aan congruentiekenmerk ZHZ. En dat geldt uiteraard niet alleen voor (3,9) maar voor ze allemaal.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Dan 2). 't Flauwe antwoord is: gebruik je rekenmachine.
2,438652643438500228770004572464e+37 dat is een 2 waarna de komma 37 plaatsen naar rechts moet verschoven worden, dus 38 cijfers. Maar goed, dat heeft niet zoveel met wiskunde te maken. Je schrijft dat je 2^de graad ASO'er bent, ik hoop dat je het onderstaande begrijpt.

2 222 222 222 is niet priem, dus kan het getal ontbonden worden in priemfactoren, namelijk 2·11·41·271·9091.
Dus (2 222 222 222)⁴ = 2⁴·11⁴·41⁴·271⁴·9091⁴.
Als je we hier het logaritme (grondtal 10) van nemen, krijgen we log(2⁴·11⁴·41⁴·271⁴·9091⁴) = 4·log(2) + 4·log(11) + 4·log(41) + 4·log(271) + 4·log(9091) = 4·(log(2) + log(11) + log(41) + log(271) + log(9091)) dat is bij benadering 37,38714994 dus 38 cijfers (want 10³ = 1000 heeft ook 3+1 cijfers).

HK heeft een alternatief bedacht: (2 222 222 222)⁴ is ongeveer (2,2·10⁹)⁴ = (2,2)⁴·(10⁹)⁴ = (2,2)⁴·10³⁶.

2,2 ligt tussen de 2 en de 3, dus (2,2)⁴ ligt tussen de 2⁴ en 3⁴ dus tussen de 16 en 81, bestaat dus hoe dan ook uit 2 cijfers, (eigenlijk heb je het getal dan ingeklemd tussen 2⁴·10³⁶ en 3⁴·10³⁶, want 2⁴·10³⁶ < (2 222 222 222)⁴ < 3⁴·10³⁶, en zowel de onder- als bovengrens bestaan uit 38 cijfers), waardoor je ook op 38 cijfers uitkomt.

Davy
2-7-2004