WisFaq!

Homografische functies

Sorry, maar ik ben iemand die in twee maanden tijd wiskunde van 5 en 6de jaar moet individueel inhalen.
Ik begrijp juist niet hoe je nu een homografische functie moet oplossen !

een voorbeeld van een vraag :
" bepaal van volgende homografische functies de horizontale en vertikale asymptoot en schets de grafiek

g(x) = 4x+1/2x-1
hoe doe je dit nu?

tweede soort vraag :
" gegeven : een grafiek van een homografische functie", bepaal het functievoorschrift.
Hoe doe je dit?

Graag antwoordje terug

Vriendelijke groeten

Randy Priem
1-7-2004

Antwoord

Beste Randy,

Vraag 1
-------
Algemeen kan een homografische functie worden voorgesteld als f(x) = ^ax+b/_cx+d. Er is sprake van een horizontale asymptoot, als voor de limiet gaande naar plus oneindig een reëel getal uitkomt (en dat de limiet voor x gaande naar min oneindig hetzelfde reële getal oplevert). Er is sprake van een verticale asymptoot als de functiewaarde ±¥ wordt, dit krijg je als er bijvoorbeeld door 0 gedeeld wordt, dus als de noemer 0 wordt (en de teller niet 0).

Hoe vind je nu de horizontale asymptoot van f(x) = ^ax+b/_cx+d?

Hetzelfde geldt voor de limiet van x gaande naar min oneindig, dus horizontale asymptoot y = ^a/_c.

Hoe vind je de verticale asymptoot? Het nulpunt van de noemer is cx + d = 0 Û cx = -d Û x = -^d/_c.
wat logisch is, het punt behoort niet tot het domein.
Dus de verticale asymptoot is x = -^d/_c.

In jouw geval g(x)=^4x+1/_2x-1 is de horizontale asymptoot y = 2 en de verticale asymptoot x = ¹/₂.
Een grafiek (laten) tekenen is altijd een goed hulpmiddel.


Vraag 2
-------
Als je een grafiek getekend hebt en je ziet dat er zowel een horizontale als een verticale asymptoot is én dezelfde vorm (hyperbool) dan heb je hoogstwaarschijnlijk te maken met een homografische functie die standaard het functievoorschrift f(x) = ^ax+b/_cx+d heeft. Kijk eerst of er een translatie van de standaardfunctie f(x) = ¹/_x heeft plaatsgevonden, dan is 't functievoorschrift opstellen niet zo moeilijk (verschuiving met (a,b) levert g(x)=f(x-a)+b als nieuw functievoorschrift). Misschien heeft er een vermenigvuldiging t.o.v. x- of y-as plaatsgevonden t.o.v. standaardfunctie? Een vermenigvuldiging met a t.o.v. x-as levert g(x)=a·f(x) als nieuwe functie, een vermenigvuldiging t.o.v. y-as met a levert g(x) = f(¹/_a·x) als nieuwe functie.

Er kan ook een combinatie van translatie en vermenigvuldiging hebben plaatsgevonden, dat zou je even moeten proberen door beide functies in een grafiek te tekenen.

Enkele belangrijke punten zijn (-^d/_c,^a/_c) het snijpunt van de horizontale- en verticale asymptoot.
(0,^b/_d) snijpunt met Y-as.
(-^b/_a,0) snijpunt met X-as.

Groetjes,

Davy.

Davy
1-7-2004