WisFaq!

Minimale oppervlakte van een cilinder

Beschouw een cilindrisch vat (zonder deksel) met gegeven volume Vo m³. Als de oppervlakte van het vat minimaal is, welk verband is er dan tussen de hoogte h ( in m ) van het vat en de straal r ( in m ) van het grondvlak?

Het antwoord is: h=r

Maar ik begrijp niet dat als h=r, dat dan de oppervlakte minimaal is, want een cilinder kan toch ook een hoogte kleiner dan r hebben?

Hoop dat jullie het weten, groetjes!

mirella
1-7-2004

Antwoord

De oppervlakte van het vat is O = $\pi$r² + 2$\pi$rh (voor respectievelijk de bodem en de opstaande wand).
Gegeven is dat $\pi$r²h = V.
De formule voor O bevat twee variabelen, namelijk r en h.
In de alledaagse praktijk zul je streven naar formules met maar één variabele. Welke keuze je maakt is aan jou: r of h.
In de O-formule komt h maar één keer voor, terwijl de r zowel in de eerste en in de tweede macht voorkomt. Het is daarom het handigst om de h uit de O-formule weg te werken, en daarvoor gebruik je de tweede formule. Die tweede formule levert namelijk op dat h = V/($\pi$r²) en dat moet je nu eens gaan invullen in de O-formule.
Je krijgt: O = $\pi$r² + 2$\pi$r.V/($\pi$r²) ofwel O = $\pi$r² + 2V/r

Differentieer nu deze functie naar r en kijk wanneer de afgeleide 0 wordt.
O' = 2$\pi$r - 2Vr^-2
Kijk nu zelf even of je de laatste stap weet te zetten.

MBL
1-7-2004