WisFaq!

Snijpunt bepaling van een lijn in de ruimte met een gekromd vlak

Ik heb een lijn door twee coordinaten in de ruimte:
H1D(x,y,z) en S1D(x,y,z)
En ik heb in het platte vlak (yz-vlak)een cirkel, die wordt geroteerd om de z-as, zodat er een surface (van een ring ontstaat.
(x-p)²+(y-q)²=R² Hoe ziet een vergelijking voor een zo'n vlak eruit?????

Zelf had ik in gedachten om de coordinaten te projecteren (roteren om de z-as door gebruikte maken van r,t,z) op het yz-vlak waarin de curve is gedefineerd. En dan de nieuwe lijn te snijden met de cirkel curve. Maar dit gaat niet helemaal goed. Zit een verschil in z-waarden.

Nu is mijn vraag:
Hoe bepaal ik de snijpunten van de lijn (H1D,S1D) met de cirkel surface. (Er vanuit gaande dat er een snijpunt is)

Hierop hoor ik graag een antwoord.

Bijvoorbaat dank.

Danny de Graaf

NB. Indien het probleem niet duidelijk is kan ik altijd een 3D plaatje maken en doorsturen.

danny de graaf
30-6-2004

Antwoord

Hoi Danny,

De officiele naam voor de "ring" die jij noemt is "de torus". Een vergelijking hiervoor is bijvoorbeeld:
(p - Ö(x²+y²))²+(z-q)² = R², met p de afstand van het middelpunt van de cirkel in het yz-vlak tot de z-as (de "straal van de ring"), q de hoogte ervan, en R de straal van de cirkel (de "dikte van de ring").

Ook handig is de parameter-voorstelling ervan:
x = (p + R cos(f)) · cos(q),
y = (p + R cos(f)) · sin(q),
z = q + R sin(f).
Hierin is f de hoek met de horizontaal die de cirkel in het yz-vlak langsloopt en q de hoek waarover nog om de z-as gedraaid wordt om het punt op de torus te komen. Beide lopen dus over 2p radialen.

Zie ook de informatie op de Mathworld-pagina over de torus of bijvoorbeeld ook
Uitleg over parametervoorstelling van de torus.

Het bepalen van het snijpunt gaat waarschijnlijk het makkelijkst door de parameter-voorstelling van de lijn in de vergelijking voor de torus in te vullen.
Succes,


Guido Terra

gt
30-6-2004