WisFaq!

Magische herhalingen na de komma

Stel je voor, een getal na de komma met 6 decimalen dat telkens herhaalt. Zeer normaal. Maar als je het volledige getal verdubbelt, zie je weer dezelfde 6 decimalen na de komma herhalen, alleen start ze nu op een ander cijfer uit de reeks. Het zelfde bij verdrievoudigen. Ik leg uit:

1x = 0,abcdefabcdefabcdef...
2x = 0,cdefabcdefabcdefab...
3x = 0,bcdefabcdefabcdefa...

Ik heb dit gelezen in een boek van een russische filosoof. Toen ik het narekende was het natuurlijk korrekt. Toch lijkt het mij 'onmogelijk'. Hoe kan de som van x en x, nu weer dezelfde decimalenreeks uitkomen?

O ja:
1x = 0,142857142857142857...
2x = 0,285714285714285714...
3x = 0,428571428571428571...

dit gaat zo door met alle veelvouden van x, uitgezonderd de veelvouden van 7. Want x komt namelijk voort uit 1/7. 7/7 = 1, maar dan gaat het weer door met 8/7 = 1,142857...

Wie weet WAAROM dit zo is?

Ram
10-4-2002

Antwoord

Dat is niks bijzonders!
¹/₁₉=0,052631578947368421052631578947368...
²/₁₉=0,10526315789473684210526315789474...
³/₁₉=0,15789473684210526315789473684211...
Enz.

Er zijn trouwens meer getallen waarbij het lukt: 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 109, 113, 131, ... Volgens David Wells in Het woordenboek van eigenaardige en merkwaardige getallen heten deze getallen cyclische getallen en zijn ze geliefd bij wiskundehobbyisten!

Wat er aan de hand is, is dat dit getallen zijn met decimale periode van maximale lengte, d.w.z. dat de lengte van de periode één minder is dan de nummer zelf... de 'gein' zit natuurlijk in het feit dat als je bij delen door 19 (bijvoorbeeld) op één van de getallen uitkomt (en dat is dus altijd zo, m.u.v. veelvouden van 19) dan komt het zelfde rijtje getallen weer naar voren.

Wat is er nou eigenlijk zo merkwaardig? Dat 1/19 + 1/19 = 2/19 is? Nee niet echt... dat delen door 19 (bijvoorbeeld) steeds hetzelfde rijtje decimalen oplevert? Nee, ook niet, want als het niet 'gaat' kom je altijd uit op één van de 18 'plekken' in het rijtje...

Het zou interessant zijn om de staartdeling van delen door 7 een paar keer uit te voeren... je ziet dan vanzelf waarom het zich vanzelf gaat herhalen. Niks magisch... wel wonderlijk!

Zie Breuken en periodiciteit [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=2894]

WvR
10-4-2002