WisFaq!

Exponentiële groei

In een vijver zitten algen die zich razendsnel vermenigvuldigen. elke dag neemt het gewicht aan algen 25% toe. op 1 januari zit er 25 gram algen in de vijver.

a.formule = A=25x1.25^t leg uit waarom dit
b.hoeveel uren duurt het volgens de formule voor er meer dan 2kg alg in de vijver zit?

op 1 mei zit de vijver vol algen. het gewicht is op dat moment 20kg. de tuinman bestrijd de algen door elke dag 5kg alg uit de vijver te halen. maar elke dag groeit de overgebleven alg weer 25 % bij.

c.Hoeveel dagen heeft de tuinman nodig om op die manier de vijver geheel algenvrij te krijgen?

dit was het alvast bedankt
met vriendelijke groet Tim

P.s hoe kan je dit makkelijk en snel uitreken met je grafische rekenmachine ik heb een texas instruments TI-83 plus

tim
24-6-2004

Antwoord

Stel t = aantal dagen

a.
Als t=0 is A(0) = 25
als t=1 is A(1) = 25 x 1.25
als t=2 is A(2) = 25 x 1.25 x 1.25 = 25 x (1.25)²
als t=3 is A(3) = 25 x (1.25)² x 1.25 = 25 x (1.25)³

voor iedere t geldt dus A(t) = 25 x (1.25)^t

b.
Vermits A(t) = 2000 moet je de volgende vergelijking oplossen :

2000 = 25 x (1.25)^t

(1.25)^t = 80

Hieruit kun je t oplossen door gebruik te maken van logaritmen :

t = ^{log 80}/_{log 1.25}

Reken deze t om in aantal uren.

c.
We drukken dit uit met een recursief voorschrift :
De volgende dag is het gewicht A(t) gelijk aan :
-het gewicht van de vorige dag A(t-1) verminderd met 5 kg
-dit nieuwe gewicht neemt weer met 25% toe

Dus
A(t) = (A(t-1) - 5) x 1.25

Met je TI-83 bereken je dit als volgt:

Zet met de MODE-knop de grafiekmodus op "seq"
De functie geef je in met "Y="
Stel
nMin=1
u(n)=(u(n-1)-5)*1.25
u(nMin)=20

Met TBLSET zet je TblStart=1 en DTbl=1

Met TABLE kun je de tabel oproepen.

Je zult dan vaststellen dat de vijver na 9 dagen algenvrij te krijgen.

LL
25-6-2004